Թարգմանություն
Մարդը նույնիսկ զարգացման ամենավաղ փուլերում ունի ձիրք, որը, ավելի լավ տարբերակ չգտնելու պատճառով, կանվանեմ թվի զգացողություն: Այդ ընդունակությունը նրան թույլ է տալիս գիտակցել, որ առարկաների ոչ մեծ հավաքածույում ինչ-որ բան փոխվել է, երբ ստույգ հայտնի չէ, ինչ-որ օբյեկտ հեռացվել է, թե՝ ավելացվել:
Թվի զգացողությունը պետք չէ շփոթել հաշվի հետ, որը, հավանաբար, ավելի ուշ շրջանի հայտնագործություն է և, ինչպես հետո կտեսնենք, մտավոր ավելի բարդ պրոցեսներ է ենթադրում: Հաշիվը, որքանով հայտնի է, մարդուն բնորոշ առանձնահատկություն է, չնայած կենդանիների որոշ տեսակներ, կարծես, մեզ նման օժտված են թվի սաղմնային զգացողությամբ: Համենայն դեպս, այդպիսին է կենդանիերի վարքի նկատմամաբ հեղինակավոր դիտարկողների կարծիքը, և այդ տեսությունը բազմաթիվ փաստերով հաստատվում է:
Օրինակ, շատ թռչուններ օժտված են թվի այդպիսի զգացողությամբ: Եթե բնում չորս ձու լինի, ապա մեկը, առանց վտանգի ենթարկելու, կարելի է վերցնել, բայց եթե երկուսը վերցնենք, ամենայն հավանականությամբ, թռչունը կլքի բույնը: Ինչ-որ անհասկանալի ձևով թռչունը տարբերում է երեքը երկուսից: Բայց այս առանձնահատկությունը ոչ միայն թռչուններին է հատուկ: Փաստորեն, մեզ հայտնի ամնազարմանալի օրինակը միջատ է՝ «դեղահաբային կրետը»: Մայրը առանձին բջիջներում ձվեր է դնում, ընդ որում յուրաքանչյուր բջիջում դնում է մի քանի կենդանի որդ, որոնցով ձվից դուրս գալուց հետո պետք է սնվի թրթուրը: Զոհերի թիվը զարմանալիորեն հաստատուն է մնում տվյալ տեսակի կրետների համար. մի տեսակը մեկ բջջում դնում է 5-ական որդ, մյուս տեսակը՝ 12-ական, իսկ մեկ ուրիշ տեսակն էլ՝ երկու անգամ ավելի՝ 24-ական: Բայց ամենազարմանալի օրինակը կրետների Genus Eumenus տեսակն է, որոնց արական կրետը զգալիորեն փոքր է իգականից: Ինչ-որ անըմբռնելի ձևով մայրը իմանում է, թե ինչ սեռի կլինի թրթուրը, և համապատասխան ձևով սնունդ է առանձնացնում. նա չի փոխում որդի տեսակը կամ չափսերը, բայց արականների համար հինգ զոհ է թողնում, իսկ իգականների համար՝ տասը:
Закономерность в действиях ос и то, что их действия связаны с фундаментальной функцией в жизни насекомых, делают этот последний пример менее убедительным, чем следующий. Կրետների գործողություններում օրինաչափությունները և այն, որ նրանց գործողությունները կապված են միջատների կյանքի հիմնարար ֆունկցիաների հետ, վերջին օրինակը պակաս համոզիչ են դարձնում, քան հաջորդը: Այստեղ թռչնի գործողությունները գրեթե գիտակցված են թվում:
Մի հողատեր որոշում է սպանել ագռավին, որը բույն էր հյուսել նրա կալվածքի պահակային աշտարակի վրա: Մի քանի անգամ նա փորձել էր թռչնին հանկարածակիի բերել, բայց ապարդյուն. հենց նա մոտենում էր, թռչունը հեռանում էր բնից: Հեռվում գտնվող ծառի վրա նա ուշադրությունը լարած սպասում էր, մինչև մարդը հեռանա աշտարակից, և հետո վերադառնում էր իր բույնը: Մի անգամ հողատերը որոշեց խորամանկել. երկու հոգով մտան աշտարակ, մեկը մնաց ներսում, իսկ մյուսը աշտարակից դուրս եկավ ու հեռացավ: Բայց թռչունը չխաբվեց, նա հեռվում մնաց, մինչև երկրորդ մարդն էլ դուրս եկավ: Հաջորդ օրերին փորձը կրկնեցին երկու, երեք, հետո նաև չորս մարդկանց հետ, բայց ապարդյուն: Վերջապես աշտարակ գնացին հինգ հոգով. առաջվա նման բոլորը մտան, մեկը մնաց աշտարակում, մինչդեռ չորսը դուրս եկան և հեռացան: Այստեղ ագռավը հաշիվը խառնեց: Նա չկարողացավ չորսը տարբերել հինգից և անմիջապես վերադարձավ բույն:
Նման ապացույցների դիմաց երկու փաստարկ կարելի է առաջ քաշել: Առաջինը, թվի այդպիսի զգացողություն ունեցող կենդանիների տեսակների քանակը չափազանց փոքր է, կաթնասունների մեջ այդպիսիններ ընդհանրապես չեն գտնվել, և, կարծես, նույնիսկ կապիկները զուրկ են այդպիսի ընդունակությունից: Երկրորդ փաստարկն այն է, որ այդ բոլոր դեպքերում կենդանիների մոտ թվի զգացողությունը այնքան սահմանափակ է, որ կարելի է անտեսել:
Առաջինը կարելի է հասկանալ: Իսկապես, ուշագրավ է, որ ինչ-որ ձևով թիվը ընկալելու կարողությունը հատուկ է միայն միջատներին, թռչուններին և մարդկանց: Շների, ձիերի և ուրիշ ընտանի կենդանիների հետ արված փորձերը և դիտարկումները թվի ոչ մի զգացողություն չեն հայտնաբերել նրանց մոտ:
Երկրորդ փաստարկը մեծ նշանակություն չունի, քանի որ մարդու մոտ էլ թվի զգացողությունը սահմանափակ է: Գործնականում, երբ քաղաքակրթված մարդուն հարկ է լինում թվերը տարբերել, նա գիտակցաբար կամ ակամա թվի անմիջական զգացողությանը օգնում է այնպիսի հնարքներով, ինչպես համաչափության ընկալումը, մտովի խմբավորումը կամ հաշիվը: Հաշիվը այն աստիճանի է դարձել մեր մտավոր պրոցեսների անբաժանելի մասը, որ թվերի ընկալման վերաբերյալ հոգեբանական թեստերը հանդիպում են լուրջ դժվարությունների: Համենայն դեպս այս բնագավառում որոշակի առաջխաղացում է գրանացվել. մանրամասնորեն կատարված թեստերը հանգեցրել են անխուսափելի եզրակացության, որ միջին քաղաքակրթված մարդու մոտ թվի տեսողական զգացողությունը հազվադեպ է անցնում չորսը, իսկ շոշափողական զգացողությունը ավելի սահմանափակ է ծավալով:
Դա զգալի չափով հաստատվում է վայրենի վիճակում գտնվող մարդկանց մարդաբանական ուսումնասիրություններով: Նկատվել է, որ այն համայնքների ներկայացուցիչները, որոնք դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու աստիճանին, ամբողջովին զուրկ են թվի ընկալումից: Նման փորձեր կատարվել են տարբեր ցեղերի հետ, որոնք ապրում են Ավստրալիայում, հարավային ծովերի կղզիներում, Հարավային Ամերիկայում և Աֆրիկայում: Ազգագրագետ Քերը, ով Ավստրալացի բնիկների բազմակողմանի ուսումնասիրություն էր կատարում, պնդում է, որ նրանցից քչերը կարող են տարբերել չորս թիվը, և համայնքի սկզբնական պայմաններում ապրող ավստրալացիներից ոչ մեկը չի կարողացել ճանաչել յոթ թիվը: Հարավային Աֆրիկայի բուշմենների մոտ միայն երեք թվային բառ կա՝ մեկ, երկուս և շատ, և այդ բառերը այնքան անորոշ են, որ կարելի է կասկածել, թե բնիկները այդ բառերին հստակ նշանակություն են տալիս:
Մենք չունենք պատճառ հավատալու և ունենք բազում պատճառներ կասկածելու, որ մեր հեռավոր նախնիների մոտ գործերն ավելի լավ էին. գրեթե բոլոր եվրոպական լեզուները իրենց մեջ ունեն անցյալում այդպիսի սահմանափակումների հետքեր: Անգլերեն thrice բառը, ինչպես նաև լատիներեն՝ ter , երկու իմաստ ունի «եռակի» և «շատ»: Անկասկած, կապ կա լատիներեն tres բառի, այսինք «երեք» և trans՝ «հեռու», «սահմանից այն կողմ» բառերի միջև: Նույնը կարելի է ասել ֆրանսերեն tres՝ «շատ» և trios՝ «երեք» բառերի մասին:
Թվի առաջացումը թաքանված է դարերի խորքում՝ անթափանց վարագույրի ետևում: Այդ հասկացությունը առաջացել է փորձից, թե փորձի կուտակումը ուղղակի նպաստել է այն բանի բացահայտմանը, ինչը անորոշ կերպով արդեն թաքնված ձևով գոյություն ուներ հնագույն բանականության խորքերում, դա մետաֆիզիկական դատողությունների համար հետաքրքիր առարկա է, և այդ պատճառով էլ դուրս է այն հարցերի շրջանակից, որը քննարկվում է այս գրքում:
Եթե մեր հեռավոր նախնիների մասին դատենք ժամանկակաից ցեղերի զարգացվածության աստիճանով, ստիպված ենք եզրակացնել, որ սկիզբը չափազանց համեստ է եղել:.Ժամանակակից հասկացությունը զարգացել է թվի մասին թերաճ զգացողությունից, որը ծավալով ավելի մեծ չի եղել՝ թռչունների հիմա ունեցածից: Եվ կասկած չկա, որ մնալով թվի այդ անմիջական ընկալումով, մարդը հաշվի արվեստում թռչուններից հեռուն չէր գնա: Բայց մի շարք ուշագրավ հանգամանքների շնորհիվ, մարդը սովորեց ամրացնել թվի՝ իր խիստ սահմանափակ զգացողությունը, օգտագործելով գյուտեր, որոնք հսկայական ազդեցություն ունեցան նրա հետագա ամբողջ կյանքի համար: Այդպիսի գյուտ էր հաշիվը, և հատկապես հաշվին ենք պարտական այն զարմանալի առաջընթացի համար, որին հասել ենք տիեզերքը թվի միջոցով արտահայտել ձգտելիս:
Կան վայրենի լեզուներ, որոնցում ծիածանի բոլոր գույների անունները կան, բայց «գույն» նշանակող բառը չկա. գոյություն ունեն այնպիսինները, որտեղ թվերի անունները կան, բայց «թիվ» բառը չկա: Նույնը արդարացի է նաև ուրիշ հասկացությունների վերաբերյալ: Անգլերենում բուն այդ լեզվին հատուկ շատ բառեր կան որոշակի տեսակի հավաքածուներ նշանակող՝ flock, herd, set, lot, bunch, այս բոլոր բառերը օգտագործվում են կոնկրետ դեպքերում՝ հոտ, ամբոխ, խումբ, փունջ և այլն, մինչդեռ aggregate, collection, հավաքածու, բազմություն բառերը փոխառված են:
«Շատ դարեր պետք եղավ, որպեսզի հայտնաբերեն,- ասում է Բերտրան Ռասելը,- որ փասիանների զույգը, և օրերի զույգը՝ երկուս թվի օրինակներ են»: До наших дней в английском языке существует несколько способов выразить понятие два: pair, couple, set, team, twin, brace и т.д., т.е. пара, двойка, двойня, чета и т.п.Մեր օրերում էլ անգլերենում մի քանի ձև կա եկուս հասկացությունը արտահայտելու համար՝ pair, couple, set, team, twin, brace և այլն, այսինքն՝ երկու հատ, երկուս, երկվորյակ, զույգ և այլն:
Թվի սկզբնական հասկացության չափազանց կոնկրետության շշմելու օրինակ կարող է ծառայել Բրիտանական Կոլումբիայում ապրող ցիմշիան հնդկացիների լեզուն:
Այդ լեզվում թվականների յոթ տարբեր հավաքածու կա՝ մեկը հարթ առարակաների և կենդանիների համար, երկրորդը կլոր առարկաների և ժամանակի համար, երրորդը մարդկանց հաշվելու համար, չորրորդը երկար առարկաների և ծառերի համար, հինգերորդը կանոեյի համար, վեցերորդը չափերի համար և յոթերորդը այն առարկաների համար, որոնք չի կարելի ճիշտ որոշել:
Վերջինները, հավանաբար, թարմ ձեռքբերում են, մնացած բոլորը գալիս են ավելի հին ժամանակներից, երբ այդ ցեղի ներկայացուցիչները դեռ հաշվել չգիտեին:
Հատկապես հաշիվը միավորեց կոնկրետը և, հետևաբար, բազմաքանակության տարասեռ հասկացություննրը, որոնք բնորոշ էին նախնադարյան մարդկանց, վերացական թվի համասեռ հասկացությունում, առանց որի անհնար է մաթեմատիկան:
Չնայած կարող է տարօրինակ թվալ, բայց կարելի է հանգել թվի տրամաբանական, պարզ հասկացությանը առանց հաշիվ կիրառելու:
Մտնում ենք դահլիճ: Մեր առջև երկու հավաքածու է՝ սենյակում տեղերը և ուսանողները: Առանց հաշվելու կարող ենք պարզել՝ հավասար են այդ հավաքածուները, և եթե հավասար չեն, նրանցից որն է շատ: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և ոչ մեկը կանգնած չէ, գիտենք, առանց հաշվելու, որ երկու հավաքածուները հավասար են: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և սենյակում ինչ-որ մեկը կանգնած է, առանց հաշվելու գիտենք, որ ուսանողները ավելի շատ են, քան տեղերը:
Մենք դա պարզեցինք օգտվելով մի հասկացությունից, որը գերիշխում է ամբողջ մաթեմատիկայում և ստացել է փոխմիարժեք համապատասխանություն անվանումը: Փոխմիարժեք համապատասխանությունը հաստատելու պրոցեսը մի բազմության յուրաքանչյուր տարրին մյուս բազմությունից մեկ տարր համապատասխանացնելն է: Այս պրոցեսը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մի բազմությունը կամ երկուսն էլ սպառվեն:
Վայրենի շատ ցեղերի մոտ հաշվի տեխնիկան սահմանափակված է հենց այդպիսի համադրումով և համապատասխանություն հաստատելով: Նրանք իրենց հոտերի կամ բանակի մասի տեղեկությունը պահում են ծառի վրա արված կտրվածքի կամ քարի կույտի միջոցով: Այն մասին, որ մեր նախնիները այդ մեթոդի գիտակ են եղել, վկայում է tally և calculate բառերի ստուգաբանումը, որոնցից առաջինը առաջացել է լատիներեն talea՝ կտրվածք բառից, իսկ երկրորդը՝ լատիներեն calculus՝ քար:
Առաջին հայացքից թվում է, թե համապատասխանություն ստեղծելու մեթոդը կգործի միայն երկու հավաքածուների դեպքում, այլ ոչ թե թիվ ստեղծելու հարցում՝ այս բառի բացարձակ իմաստով: Սակայն հարաբերական թվերից բացարձակին անցնելը բարդ չէ: Անհրաժեշտ է միայն ստեղծել նմուշային հավաքածու, որի հետ հետո համեմատել ուսումնասիրվող հավաքածուներից յուրաքանչյուրը: Այդ դեպքում տրված յուրաքանչյուր հավաքածուի գնահատումը հանգում է համապատասխան նմուշային հավաքածուի ընտրությանը, որի յուրաքանչյուր տարրին կարելի է համապատասխանեցնել ուսումնասիրվող հավաքածուից մեկ տարր:
Նախնադարյան մարդը այդպիսի նմուշային հավաքածուներ հայտնաբերում է իր անմիջական շրջապատում՝ թռչունի թևերը կարող են երկուս նշանակել, երեքնուկի թերթիկները՝ երեք, կենդանու ոտքերը՝ չորս, իր ձեռքի մատները՝ հինգ: Թվականների այդպիսի ծագման մասին վկայությունները կարելի գտնել պարզագույն շատ լեզուներում: Իհարկե, այն բանից հետո, երբ թվականը ստեղծված և ընդունված է, այն դառնում է նույն ձևի լավ նմուշ, ինչպես և այն օբյեկտը, որը սկզբում ինքը ներկայացնում էր: Օբյեկտը, որից փոխ է առնված անվանումը, թվի անվանումից տարբերելու անհրաժեշտությունը բնականորեն հանգեցրել է բառի արտասանության փոփոխությանը, և ժամանակի ընթացքում անվանումների միջև կապը մառացվել է: Մարդը իր սովորելուն զուգընթաց ավելի շատ է ապավինում իր լեզվին, պատկերները դուրս են մղվում դրանք նշանակող հնչյունների կողմից և ի սկզբանե կոնկրետ օբյեկտները ընդունում են թվերի անվանումների վերցական ձևը: Հիշողությունը և սովորությունը այդ վերացական ձևերին կոնկրետություն են հաղորդում. այդպես պարզ բառերը դառնում են բազմաքանակության չափ:
Հենց նոր նկարագրված հասկացությունը կոչվում է քանակական թիվ: Քանակական թիվը հիմնված է համապատասխանության սկզբունքի վրա. այն հաշիվ չի ենթադրում: Հաշիվ ստեղծելու համար բավարար չէ ունենալ նմուշային հավաքածուի տարբեր տարրերից կազմված ամբողջություն, որքան էլ որ այդ ամբողջությունը լրիվ լինի: Անհրաժեշտ է մշակել թվերի համակարգ՝ մեր նմուշային հավաքածուները պետք դասավորված լինեն կարգավորված հաջորդականությամբ, այնպիսին, որ նրանում հաջորդելու կարգը որոշվի մեծության աճով, այսինքն բնական շարքով՝ մեկ, երկուս, երեք… Նման համակարգ ստեղծելուց հետո հաշվել հավաքածուի տարրերի քանակը, կնշանակի հավաքածուի յուրաքանչյուր հաջորդ ատարրին վերագրել բնական շարքից թիվ՝ աճման կարգով, մինչև ամբողջ հավաքածուն վերջանա: Հավաքածուի վերջին տարրին վերագրվող թիվը, կոչվում է հավաքածուի կարգային թիվ:
Система счета, основанная на порядковых числах, может принимать конкретную форму четок, но это, конечно, не обязательно.Կարգային թվերի վրա հիմնված հաշվարկի համակարգը կարող է ընդունել զույգերի կոնկրետ ձև, բայց դա, իհարկե, պարտադիր չէ: Կարգային համակարգը սկսում է գույություն ունենալ ոյն բանից հետո, երբ առաջին մի քանի թվը նշանակող բառերոը մնում են մարդկանց հիշողության մեջ որպես կարգավորված հաջորդականություն և առաջանում է հնյունական համակարգ, որոը հնարավորություն է տալիս ցանկացած մեծ թվի համար ստանալ նրա հաջորդ թիվը:
Մենք այնքան հեշըությամբ սովորեցինք անցնել քանակական թվականներից կարգայինների, որ մեզ համար երկու մոտեցումները միավորվել են մեկում: Հավաքածույում տարրերի քանակը, այսինքն կարգային թիվը, որոշելու համար, մեզ այլևս անհրաժեշտ չէ տարրերի համապատասխան քանակով հարմար նմուշային հավաքածու փնտրել, ուղղակի կարող ենք հաշվել: Մաթեմատիկայում մեր առաջընթացը պայամանավորված է նրանով, որ սովորել ենք նույնացնել թվի նկատմամբ երկու մոտեցումները: Իրոք, չնայած գործնականում մեզ պետք են քանակական թվերը, նրանք թույլ չեն տալիս թվաբանություն կառուցել: Թվաբանական գործողությունները հիմնված են ոչ ակնհայտորեն ընդունվող ենթադրության վրա, որ միշտ կարող ենք ցանկացած թվից անցնել հաջորդին, և հեց սա է դասական թվերի համակարգի էությունը: Այսպիսով, համապատասխանեցումը ինքնին թույլ չի տալիս կառուցել հաշվարկների արվեստը: Առանց իրերը կարգավորված հաջորդականությունում շարելու մեր կարողությանը, առաջընթացը աննշան կլիներ: Համապատասխանությունը և հաջորդելու կարգը ամբողջ մաթեմատիկայով անցնող երկու սկզբունք են, ավելին, ճշգրիտ մտածողության բոլոր ոլորտները հյուսված են մեր հաշվարկի համակարգի բուն գործվածքում:
Հիմա բնական է հետաքրքրվելը, թե քանակական և դասական թվերի միջև այդ նուրբ տարբերությունը ինչպես է ազդել թիվ հասկացության սկբնական պատմության վրա: Ցանկալի է ենթադրել, որ քանակական թվերը, որոնք հիմնված են համապատասխանության սկզբունքի վրա, հայտնվել են դասականներից ավելի շուտ, որոնց համար պահանջվում է և՛ համապատասխանեցում, և- կարգավորվածություն: Սակայն նախնադարյան մշակույթի և լեզվաբանության ամենամանրակրկիտ ուսումնասիրությունները այդպիսի օրինաչափություն չեն բացահայտել: Ամենուր, որտեղ կա հաշվի ինչ-որ համակարգ, թվերի նկատմամբ երկու մոտեցումն էլ դիտվել են:
Սակայն պարզվում է ամենուր, որտեղ գոյություն ունի հաշվի ինչ-որ տեխնիկա, որը այդպիսին կոչվելու արժանի է, դրան նախորդել կամ զուգահեռ գույություն է ունեցել մատներով հաշվելու տեխնիկա: Մարդու մատները հենց այն գործիքն է, որը քանակական թվականներից դասականներին աննկատ անցնելու հնարավորություն է տալիս: Եթե մարդը ցանակնում է ցույց տալ, որ ինչ-որ հավաքածու չորս տարր է պարունակում, նա կծալի կամ կբացի չորս մատ: Իսկ եթե նա ցանկանա հաշվել, թե քանի տարր կա այդ նույն հավաքածույուն, նա հաջորդաբար կծալի կամ կբացի մատները: Առաջին դեպքում նա օգտագործում է իր մատները ինչպես քանակական մոդելային հավաքածու, երկրորդ դեպքում՝ դասական համակարգ: Հաշվի այդպիսի ծագման մասին անառարկելի հղումներ գործնականում տեսանելի են ցանկացած պարզագույն լեզվում: Դրանցից շատերում «հինգ» բառը հնչում է ինչպես «ձեռք» բառը, «տասը» բառը՝ ինչպես «երկու ձեռք», իսկ երբեմն, ինչպես «մարդ»: Ավելին, շատ պարզագույն լեզուներում մեկից մինչև չորս թվերը նշանակող բառերը նույնական են համապատասխան մատների անուններին:
Առավել զարգացած լեզուները ենթարկվել են փոփոխության, և արդյունքում կորցրել բառերի սկզբնական նշանակությունը: Սակայն, դրանցում կարելի գտնել «մատների հետքերը»: Համեմատեք սանսկրիտով հինգ նշանակող pantcha բառը պարսկերեն «ձեռք» նշանակող pantcha բառի հետ. ռուսերեն «пять» բառը «пясть» բառի հետ, որը ձեռքի հինգ մատը բացած ափ է նշանակում:
Հաշվարկներում իր հաջողությունների համար մարդը պարտական է իր ճկուն տասը մատներին: Հենց այդ մատներն են նրան հաշվել սովորեցրել և հաշվելու հնարավորությունները ընդարձակել մինչև անվերջություն: Առանց այդ հարմարանքի մարդու հաշվելու տեխնիկան շատ հեռուն չէր գնա թվի մասին սաղմնային զգացողությունից: Ուստի կարելի է հիմնավորված ենթադրել, որ առանց մատների անհուսորեն կանգ կառներ թիվ հասկացության և, հետևաբար, ճշգրիտ գիտությունների զարգացումը, որին պարտական ենք մեր նյութական և մտավոր առաջընթացի համար:
Չնայած որ մեր երեխաները դեռ հաշվել սովորում են մատներով, և ինքներս էլ երբեմն խոսակցության մեջ մեր միտքը ընդգծելու համար դիմում ենք ձեռքերի օգնությանը, այնուամենայնիվ ժամանակակից քաղաքակիրթ մարդկությունը գրեթե կորցրել է մատներով հաշվելու արվեստը: Գրի զարգացումը, հաշվարկի հեշտացումը և համատարած կրթությունը այս արվեստը դարձրեցին հնացած և ոչ պետքական: Այս պայամաններում լրիվ բնական է թերագնահատել հաշվելու մեթոդների զարգացման պատմության մեջ մատներով հաշվելու դերը: Ընդամնեը մի քանի հարյուր տարի առաջ այն այնքան լայն տարածում ուներ Արևմտյան Եվրոպայում, որ թվաբանության ոչ մի ձեռնարկ չէր կարող լիարժեք համարվել, առանց այդ մեթոդներից օգտվելու մանրամասն բացատրության:
Սեփական մատները հաշվի և թվաբանական պարզ գործողություններ կատարելու համար օգտագործելու հմտությունը այն ժամանակ մարդու կրթվածության հատանիշներից էր: Սեփական մատների օգնությամբ թվերը գումարելու և հանելու կանոնները մշակելիս ցուցդրվել է մեծագույն հնարամտություն: Այսպես, մինչև մեր օրերը կենտրոնական Ֆրանսիայի(Օվերնի) գյուղացիները հինգից մեծ թվերը բազմապատկելու համար օգտագործում էին զարմանալի մեթոդ: Եթե պետք է հաշվել 9x8, նրանք ծալում են ձախ ձեռքի 4 մատը (4-ը ցույց է տալիս, թե 9-ը քանիսով է մեծ 5-ից) և աջ ձեռքի երեք մատը (8-5=3): Ծալած մատերի քանակը ցույց տալիս տասնավորը (4+3=7), իսկ չծալած մատների արտադրյալը՝ միավորների քանակը (1x2=2):
Նմանատիպ հայտնագործություններ կարելի է գտնել ամենատարբեր տեղերում, իչպես Բեսարաբիան, Սերբիան կամ Սիրիան: Դրանց զարմանալի նմանությունը և փաստը, որ այդ բոլոր երկրները ժամանակին եղել են մեծ Հռոմեական Կայսրության մեջ, հանգեցնում են այս բոլոր մեթոդների հռոմեական ծագում ունենալու մտքին: Սակայն ճշմարտանմանության նույն աստիճանով կարելի է պնդել, որ այդ մեթոդները անկախ են զարգացել, քանի որ նմանատիպ պայմանները բերում են նմանատիպ արդյունքների:
Եվ մեր օրերում մարդկության զգալի մասը մատներով է հաշվում. պետք է հիշենք, որ նախնադարյան հասարակության պայմաններում ապրող մարդկանց առօրյայում դա պարզ հաշվարկների միակ մեթոդն է:
Անհնար է ճիշտ նշել թվականների առաջացման ճիշտ շամանակաշրջանը, սակայն անտարակուսելի ապացույցներ կան, որ դրանք առաջացել են գրավոր պատմության ստեղծումից հազարավոր տարիներ առաջ: Մի փաստ արդեն նշվել է՝ եվրոպական լեզուներում թվականների նշանակության սկզբնական բոլոր հետքերը, միգուցե բացառությամբ հինգի, կորել են: Առավել ուշագրավ է, որ թվեր նշանակող բառերին, որպես կանոն, բնորոշ է բացառիկ կայունություն: Չնայած, որ ժամանակի ընթացքում լեզվի շատ բնագավառներում արմատական փոփոխություններ են կատարվում, գործնականորեն չի փոխվում: Բանասերները օգտագործում են այս կայունությունը, որպեսզի որոշեն լեզուների ենթադրաբար հեռացված խմբերի ազգացության աստիճանը: Ընթերցողը կարող է ծանոթանալ այս գլխի վերջում բերված աղյուսակին, որտեղ համեմատության համար բերված են թվերի անվանումները հնդեվրոպական խմբին պատկանող լեզուներով:
Ինչո՞ւ, չնայած այդպիսի կայունությանը, չենք կարողանում գտնել այդ բառերի սկզբնական անվանումների ոչ մի հետք: Կարելի է ենթադրել, որ թվեր նշանակող բառերը իրենց առաջացման պահից մնացել են անփոփոխ, իսկ կոնկրետ առարկաների անվանումները, որոնք փոխառնված էին թվականները նշելու համար, լրիվ ձևափոխվել են:
Ինչ վերաբերում է թվերի լեզվի կառուցվածքին, բանասիրական հետազոտություննրը գրեթե համատարած միօրինակություն են բացահայտել: Ամենուր, բոլոր լեզուներում մարդու տասը մատերը թողել են իրենց անփոփոխ հետքը: Ամեն դեպքում, կասկած չկա, որ մեր տասը մատերը ազդել են համրանքի համակարգի հիմքի «ընտրության» վրա: Հնդեվրոպական խմբի բոլոր լեզուներում, ինչպես նաև սիմիթական, մոնղոլական և շատ պարզունակ լեզուներում համրանքի հիմքը տասն է, կան մինչև տասը թվերի համար անկախ անուններ, իսկ տասից բարձր մինչ 100-ը եղած թվերի համար օգտագործում են ինչ-որ մի սկզբունք: Այս բոլոր լեզուներում կան առանձին անվանումներ 100 և 1000 թվերի համար, իսկ մի քանիսում՝ տասի ավելի բարձր աստիճանների համար: Կան և խաբուսիկ բացառություններ, ինչպես անգլերեն eleven և twelve և գերմաներեն elf և zwölf բառերը, բայց այս բառերը առաջացել են ein-lif և zwo-Iif բառերից, իսկ lif –ը հին գերմաներենում նշանակում է տասը:
Նաև անհրաժեշտ է ասել, որ բացի տասական հիմքից բավականին լայնորեն տարածված են համրանքի համակարգի էլի երկու հիմքեր,բայց նրանց տարբերիչ հատկությունյերը զգալի չափով հաստատում են համրանքի մեր համակարգի մարդակերպական բնույթը: Այդ երկու համակարգերն են հնգականը՝ 5 հիմքով և քսանականը՝ 20 հիմքով:
Հնգական համակարգում կան առանձին անվանումներ ընդհուպ հինգ թվի համար, իսկ բաղադրյալները սկսվում են դրանից հետո: (Նայեք գլխի վերջի աղյուսակը): Այսպիսի համակարգը, ակնհայտորեն, ծնվել է մարդկանց շրջանում, ովքեր վարժվել են հաշվել մեկ ձեռքի մատներով: Բայց ինչո՞ւ են մաչդիկ իրենց սահամնափակել մեկ ձեռքով հաշվելով: Հնարավոր է, որ նախանադարում ապրող մարդիկ շատ քիչ են եղել առանց զենքի: Երբ նա ցանկանում է որևէ բան հաշվել, զենքը դնում է թևատակը, որպես կանոն ձախ ձեռքի, և հաշվում է ձախ ձեռքի մատներով՝ աջ ձեռքը օգտագործելով նշելու համար: Սրանով կարելի բացատրել, թե ինչու են աջլիկները հաշվելու համար միշտ օգտագործում ձախ ձեռքը: Շատ լեզուներ իրենց վրա կրում են հնգական համակարգի հետքեր, և բնական է ենթադրելը, որ համրանքի որոշ տասական համակարգեր անցել են այդ փուլով: Որոշ բանասերներ պնդում են, որ նույնիսկ հնդեվրոպական լեզուներում թվականները հնգական ծագում ունեն: Այդ բանասերները նշում են հունարեն pempazein բառը, որը նշանակում է հնգյակներով հաշվել, ինչպես նաև հռոմեական թվականների անվիճելիորեն հնգական բնույթ ունենալը: Սակայն այս փաստի ուրիշ հաստատում չկա, և ավելի հավանական է, որ մեր խմբի լեզուները նախապես անցել են քսանական համակարգի փուլը:
Հավանաբար, այս համակարգը ծնվել է նախնադարյան ցեղերում, որտեղ ոտքերի մատների վրա հաշվել են այնպես, ինչպես՝ ձեռքերի: Որպես զարմանալի օրինակ կարելի է նշել Կենտրոնական Ամերիկայում մայա ցեղի հնկդիկների օգտագործած համակարգը: Անցյալում նմանատիպ համակարգ եղել է նաև ացտեկների մոտ. նրանք օրը 20 ժամի են բաժանել, իսկ նրանց բանակային ստորաբաժանումը 8000 զինվոր է ունեցել (8000=20x20x20):
Չնայած, որ մաքուր տեսքով քսանական համակարգը հազվադեպ է հանդիպում, շատ լեզուներ կան, որտեղ տասական և քսանական համակարգերը միաձուլվում են: Անգլերենում կան score (20), two-score (40), threescore (60) բառերը, իսկ ֆրանսերենում՝ vingt (20) և quatre-vingt (4 х 20):Ֆրանսիայում այս ձևը առաջ ավելի շատ էր օգտագործվում: Փարիզում 300 կույր վետերանների համար կառուցված հիվանդանոցը ունի հնացած և անսովոր անվանում Quinze-Vingt (15 х 20), իսկ Onze-Vingt (11 х 20) անվանումը կրում է սերժանտ-ոստիկանների կորպուսը, որը բաղկացած է 220 մարդուց:
Ավստրալիայի և Աֆրիկայի պարզունակ ցեղերը օգտագործում են ո՛չ հնգական, ո՛չ տասական, ո՛չ քսանական համակարգերը: Օգտագործում են երկուական համակարգ, այսինքն հիմքը 2 է: Այդ ցեղերը դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու փուլին: Նրանց մոտ անկախ անուններ ունեն «մեկը» և «երկուսը» և բարդ անվանումներ մինչև վեցը: Վեցից մեծ ամեն ինչը անվանում են «շատ» բառով:
Կերը, ում ավստալիական ցեղերի հետ կապված արդեն հղում ենք արել, պնդում է, որ նրանցից շատերը հաշվում են զույգերով:Նրանց այդ ձևով հաշվելու սովորույթը այնքան ուժեղ է, որ եթե շարքով դրված յոթ գնդասեղից վերցնենք երկուսը, նա կարող է դա նույնիսկ չնկատել, իսկ եթե մեկը վերցնենք, իսկույն կնկատի: Զույգության այդ զգացողությունը ավելի ուժեղ է, քան թվի զգացողությունը:
Բավականի զարմանլի է, որ այս պարզագույն համակարգը համեմատաբար Լեյբնիցի նման հայտնի պաշտպան ձեռք բերեց: Երկուական համակարգում միայն երկու սիմվոլ են օգտագործում՝ 0 և 1, որոնց միջոցով էլ արտահայտում են մյուս թվերը, իչպես ցույց է տրված աղյուսակում:՝
տասական համակարգ 1 2 3 4 5 6 7 8
երկուական համակարգ 1 10 11 100 101 110 111 1000
տասական համակարգ 9 10 11 12 13 14 15 16
երկուական համակարգ 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Երկու հիմքով համակարգի առավելությունը անհրաժեշտ սիմվոլների քանակն է և հաշվարկների չափազանց պարզ լինելը: Հարկ է հիշել, որ համրանքի յուրաքանչյուր համակարգ պահանջում է մտքում պահել գումարման և բազմապատկման աղյուսակները: Երկուական համակարգի համար այդ աղյուսակները հանգում են երկու կանոնի՝ 1+1=10 և 1x1=1, մինչդեռ տասական համակարգում աղյուսակների յուրաքանչյուրը 100 բջիջ ունի: Սակայն այդ առավելությունը զգալի չափով փոխհատուցվում է սեղմության բացակայությամբ. այսպես, 4096 = 212 տասական թիվը երկուական համակարգում գրվում է 1 000 000 000 000:
Հենց երկուական համակարգի խորհրդավոր նրբությունը ստիպեց Լեյբնիցին բացականչել՝ Omnimbus ex nihil ducendis sufficit unum (մեկրը բավարար են ոչինչից ամեն ինչ ստանալու համար): Լապլասն ասել է.
Լեյբնիցը երկուական համակարգում տեսավ Արարման նախապատկերը... Նրան մեկը ներկայանում էր որպես Աստվածային սկիզբ, իսկ զրոն՝ անէություն և որ Բարձարագույն Էակը ամեն ինչ ստեղծում է անէությունից ճիշտ այնպես, ինչպես մեկը և զրոն իր համակարգում արտահայտում են բոլոր թվերը: Հայացքների այս համակարգը այնքան դուր եկավ Լեյբնիցին, որ նա դրա մասին հայտնեց ճիզվիտ Գրիմալդիին՝ չինացիների մաթեմատիկական ընկերության նախագահին, հույս ունենալով, որ Արարման այդ պատկերը կօգնի քրիստոնյա դարձնելու Չիանաստանի կայսրին, որվ շատ հետաքրքրված էր գիտություններով: Այդ մասին ասում եմ մայան այն պատճառով, որպեսզի ցույց տամ, թե ինչպես մանկական նախապաշարմուքները կարող են մթագնել նույնիսկ այդպիսի մեծ մարդու հայացքը»:
Հետքրքիր է երևակայելը, թե ինչպես կփոխվեր մշակույթի պատմությունը, եթե մարդը ճկուն մատների փոխարեն երկու անշարժ վերջույթ ունենար: Եթե նման պայմաններում համենայնդեպս առաջանար համրանքի համակարգ, այն, ավելի շուտ, երկուական կլիներ:
Այն, որ մարդկությունը ընդունել համրանքի տասական համակարգը ֆիզիոլագիական պատահականություն է: Ովքեր ամեն ինչում Նախախնամության եռքն են տեսնում, ստիպված են ընդունե, որ Նախախնամությունը մաթեմատիկայից լավ չէ: Բացի այն բանից, որ այդ համակարգը հարմար է ֆիզիոլագիական տեսանկյունից, այն քիչ բանով է գրավիչ: Ցանկացած այլ հաակարգ, բացի, հնարավոր է, իննականից կարող էր նույնքան լավը լինել, իսկ հավանաբար ավելի լավը:
Իսկապես, եթե ընտրությունը թողնվեր փորձագետների խմբին, ականատեսը կլինեինք սուր վեճի պրակտիկ անձանց, որոնք կպնդեին հնարավորին չափ շատ բաժանարարներ ունեցող թվի վրա, ինչպեսին է 12-ը, և մաթեմատիկոսների, ովքեր կցանկանային, որ որպես հիմք պարզ թիվ ընտրվեր, ինչպիսին է 7-ը կամ 11-ը: Իրոք, տասնութերորդ դարի վերջի մեծ բնախույզ Բյուֆոնը առաջարկեց ամենուր օգտագործել համրանքի տասներկուական համակարգ: Նա նշում էր այն փաստը, որ 12 թիվը չորս բաժանարար ունի, մինչդեռ 10 թիվը ընդամենը՝ երկու, և պնդում էր, որ դարերի ընթացքում տասական համակարգի այդ թերությունը այնքան խիստ է զգացվել, որ չնայած հիմքը տասն է եղել, չափի միավորների մեծ մասը բաղկացած են 12 մասից:
Մյուս կողմից, հայտնի մաթեմատիկոս Լագրանժը հայտարարել է, որ որպես համրանքի համակարգի հիմք պարզ թիվը շատ ավելի նախընտրելի է: Նա նշում էր այն փաստը, որ այդ դեպքում համրանքի համակարգի հիմքով բոլոր կոտորակները անկրճատելի կլինեն: Օրինակ, համրանքի ժամանակակից համակարգում 0,36 տասնաորդական կոտորակը իրականում շատ կոտորակներ է նշանակում՝ Համարվում է, որ այդպիսի անորոշությունը կնվազեր, եթե որպես հիմք ընդունվեր պարզ թիվ, օրինակ՝ 11:
Ինչն էլ ընտրելու լիներ փորձագետների խումբը, ում վստահվել էր համակարգի հիմքի ընտրությունը՝ պարզ թե բաղադրյալ թիվ, կարելի է երաշխավորել, որ տասը թիվը ընդհանրապես չէր դիտարկվի, քանի որ այն պարզ չէ և բավականաչափ բաժանարարներ չունի:
Մեր ժամանակներում, երբ հաշվիչ սարքերը գրեթե բոլորովին դուրս են մղել բանավոր հաշիվը, ոչ ոք նման ենթադրությունները լուրջ չի ընդունում: Առավելությունները այնքան աննշան կլինեն, իսկ տասնկյակներով հաշվելու ավանդույթը այնքան ուժեղ է, որ այս խնդիրը ծիծաղելի է թվում
Մշակույթի պատմության տեսանկյունից, նույնիսկ գործնական նկատառումների բխող հիմքի փոփոխությունը, խաիստ անցանկալի է: Քանի դեռ մարդը հաշվում է տասնյակներով, նրա տասը մատը հիշեցնում են մտածողությոնա այս առավել կարևոր բնագավառի մարդկային ծագումի մասին:
Հնարավոր է, որ տասական համակարգը կոչված է ծառայելու որպես կենդանի հիշեցում, որ ամենի ինչի չափը Մարդն է:
Ես կարողանում եմ`
Մարդը նույնիսկ զարգացման ամենավաղ փուլերում ունի ձիրք, որը, ավելի լավ տարբերակ չգտնելու պատճառով, կանվանեմ թվի զգացողություն: Այդ ընդունակությունը նրան թույլ է տալիս գիտակցել, որ առարկաների ոչ մեծ հավաքածույում ինչ-որ բան փոխվել է, երբ ստույգ հայտնի չէ, ինչ-որ օբյեկտ հեռացվել է, թե՝ ավելացվել:
Թվի զգացողությունը պետք չէ շփոթել հաշվի հետ, որը, հավանաբար, ավելի ուշ շրջանի հայտնագործություն է և, ինչպես հետո կտեսնենք, մտավոր ավելի բարդ պրոցեսներ է ենթադրում: Հաշիվը, որքանով հայտնի է, մարդուն բնորոշ առանձնահատկություն է, չնայած կենդանիների որոշ տեսակներ, կարծես, մեզ նման օժտված են թվի սաղմնային զգացողությամբ: Համենայն դեպս, այդպիսին է կենդանիերի վարքի նկատմամաբ հեղինակավոր դիտարկողների կարծիքը, և այդ տեսությունը բազմաթիվ փաստերով հաստատվում է:
Օրինակ, շատ թռչուններ օժտված են թվի այդպիսի զգացողությամբ: Եթե բնում չորս ձու լինի, ապա մեկը, առանց վտանգի ենթարկելու, կարելի է վերցնել, բայց եթե երկուսը վերցնենք, ամենայն հավանականությամբ, թռչունը կլքի բույնը: Ինչ-որ անհասկանալի ձևով թռչունը տարբերում է երեքը երկուսից: Բայց այս առանձնահատկությունը ոչ միայն թռչուններին է հատուկ: Փաստորեն, մեզ հայտնի ամնազարմանալի օրինակը միջատ է՝ «դեղահաբային կրետը»: Մայրը առանձին բջիջներում ձվեր է դնում, ընդ որում յուրաքանչյուր բջիջում դնում է մի քանի կենդանի որդ, որոնցով ձվից դուրս գալուց հետո պետք է սնվի թրթուրը: Զոհերի թիվը զարմանալիորեն հաստատուն է մնում տվյալ տեսակի կրետների համար. մի տեսակը մեկ բջջում դնում է 5-ական որդ, մյուս տեսակը՝ 12-ական, իսկ մեկ ուրիշ տեսակն էլ՝ երկու անգամ ավելի՝ 24-ական: Բայց ամենազարմանալի օրինակը կրետների Genus Eumenus տեսակն է, որոնց արական կրետը զգալիորեն փոքր է իգականից: Ինչ-որ անըմբռնելի ձևով մայրը իմանում է, թե ինչ սեռի կլինի թրթուրը, և համապատասխան ձևով սնունդ է առանձնացնում. նա չի փոխում որդի տեսակը կամ չափսերը, բայց արականների համար հինգ զոհ է թողնում, իսկ իգականների համար՝ տասը:
Закономерность в действиях ос и то, что их действия связаны с фундаментальной функцией в жизни насекомых, делают этот последний пример менее убедительным, чем следующий. Կրետների գործողություններում օրինաչափությունները և այն, որ նրանց գործողությունները կապված են միջատների կյանքի հիմնարար ֆունկցիաների հետ, վերջին օրինակը պակաս համոզիչ են դարձնում, քան հաջորդը: Այստեղ թռչնի գործողությունները գրեթե գիտակցված են թվում:
Մի հողատեր որոշում է սպանել ագռավին, որը բույն էր հյուսել նրա կալվածքի պահակային աշտարակի վրա: Մի քանի անգամ նա փորձել էր թռչնին հանկարածակիի բերել, բայց ապարդյուն. հենց նա մոտենում էր, թռչունը հեռանում էր բնից: Հեռվում գտնվող ծառի վրա նա ուշադրությունը լարած սպասում էր, մինչև մարդը հեռանա աշտարակից, և հետո վերադառնում էր իր բույնը: Մի անգամ հողատերը որոշեց խորամանկել. երկու հոգով մտան աշտարակ, մեկը մնաց ներսում, իսկ մյուսը աշտարակից դուրս եկավ ու հեռացավ: Բայց թռչունը չխաբվեց, նա հեռվում մնաց, մինչև երկրորդ մարդն էլ դուրս եկավ: Հաջորդ օրերին փորձը կրկնեցին երկու, երեք, հետո նաև չորս մարդկանց հետ, բայց ապարդյուն: Վերջապես աշտարակ գնացին հինգ հոգով. առաջվա նման բոլորը մտան, մեկը մնաց աշտարակում, մինչդեռ չորսը դուրս եկան և հեռացան: Այստեղ ագռավը հաշիվը խառնեց: Նա չկարողացավ չորսը տարբերել հինգից և անմիջապես վերադարձավ բույն:
Նման ապացույցների դիմաց երկու փաստարկ կարելի է առաջ քաշել: Առաջինը, թվի այդպիսի զգացողություն ունեցող կենդանիների տեսակների քանակը չափազանց փոքր է, կաթնասունների մեջ այդպիսիններ ընդհանրապես չեն գտնվել, և, կարծես, նույնիսկ կապիկները զուրկ են այդպիսի ընդունակությունից: Երկրորդ փաստարկն այն է, որ այդ բոլոր դեպքերում կենդանիների մոտ թվի զգացողությունը այնքան սահմանափակ է, որ կարելի է անտեսել:
Առաջինը կարելի է հասկանալ: Իսկապես, ուշագրավ է, որ ինչ-որ ձևով թիվը ընկալելու կարողությունը հատուկ է միայն միջատներին, թռչուններին և մարդկանց: Շների, ձիերի և ուրիշ ընտանի կենդանիների հետ արված փորձերը և դիտարկումները թվի ոչ մի զգացողություն չեն հայտնաբերել նրանց մոտ:
Երկրորդ փաստարկը մեծ նշանակություն չունի, քանի որ մարդու մոտ էլ թվի զգացողությունը սահմանափակ է: Գործնականում, երբ քաղաքակրթված մարդուն հարկ է լինում թվերը տարբերել, նա գիտակցաբար կամ ակամա թվի անմիջական զգացողությանը օգնում է այնպիսի հնարքներով, ինչպես համաչափության ընկալումը, մտովի խմբավորումը կամ հաշիվը: Հաշիվը այն աստիճանի է դարձել մեր մտավոր պրոցեսների անբաժանելի մասը, որ թվերի ընկալման վերաբերյալ հոգեբանական թեստերը հանդիպում են լուրջ դժվարությունների: Համենայն դեպս այս բնագավառում որոշակի առաջխաղացում է գրանացվել. մանրամասնորեն կատարված թեստերը հանգեցրել են անխուսափելի եզրակացության, որ միջին քաղաքակրթված մարդու մոտ թվի տեսողական զգացողությունը հազվադեպ է անցնում չորսը, իսկ շոշափողական զգացողությունը ավելի սահմանափակ է ծավալով:
Դա զգալի չափով հաստատվում է վայրենի վիճակում գտնվող մարդկանց մարդաբանական ուսումնասիրություններով: Նկատվել է, որ այն համայնքների ներկայացուցիչները, որոնք դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու աստիճանին, ամբողջովին զուրկ են թվի ընկալումից: Նման փորձեր կատարվել են տարբեր ցեղերի հետ, որոնք ապրում են Ավստրալիայում, հարավային ծովերի կղզիներում, Հարավային Ամերիկայում և Աֆրիկայում: Ազգագրագետ Քերը, ով Ավստրալացի բնիկների բազմակողմանի ուսումնասիրություն էր կատարում, պնդում է, որ նրանցից քչերը կարող են տարբերել չորս թիվը, և համայնքի սկզբնական պայմաններում ապրող ավստրալացիներից ոչ մեկը չի կարողացել ճանաչել յոթ թիվը: Հարավային Աֆրիկայի բուշմենների մոտ միայն երեք թվային բառ կա՝ մեկ, երկուս և շատ, և այդ բառերը այնքան անորոշ են, որ կարելի է կասկածել, թե բնիկները այդ բառերին հստակ նշանակություն են տալիս:
Մենք չունենք պատճառ հավատալու և ունենք բազում պատճառներ կասկածելու, որ մեր հեռավոր նախնիների մոտ գործերն ավելի լավ էին. գրեթե բոլոր եվրոպական լեզուները իրենց մեջ ունեն անցյալում այդպիսի սահմանափակումների հետքեր: Անգլերեն thrice բառը, ինչպես նաև լատիներեն՝ ter , երկու իմաստ ունի «եռակի» և «շատ»: Անկասկած, կապ կա լատիներեն tres բառի, այսինք «երեք» և trans՝ «հեռու», «սահմանից այն կողմ» բառերի միջև: Նույնը կարելի է ասել ֆրանսերեն tres՝ «շատ» և trios՝ «երեք» բառերի մասին:
Թվի առաջացումը թաքանված է դարերի խորքում՝ անթափանց վարագույրի ետևում: Այդ հասկացությունը առաջացել է փորձից, թե փորձի կուտակումը ուղղակի նպաստել է այն բանի բացահայտմանը, ինչը անորոշ կերպով արդեն թաքնված ձևով գոյություն ուներ հնագույն բանականության խորքերում, դա մետաֆիզիկական դատողությունների համար հետաքրքիր առարկա է, և այդ պատճառով էլ դուրս է այն հարցերի շրջանակից, որը քննարկվում է այս գրքում:
Եթե մեր հեռավոր նախնիների մասին դատենք ժամանկակաից ցեղերի զարգացվածության աստիճանով, ստիպված ենք եզրակացնել, որ սկիզբը չափազանց համեստ է եղել:.Ժամանակակից հասկացությունը զարգացել է թվի մասին թերաճ զգացողությունից, որը ծավալով ավելի մեծ չի եղել՝ թռչունների հիմա ունեցածից: Եվ կասկած չկա, որ մնալով թվի այդ անմիջական ընկալումով, մարդը հաշվի արվեստում թռչուններից հեռուն չէր գնա: Բայց մի շարք ուշագրավ հանգամանքների շնորհիվ, մարդը սովորեց ամրացնել թվի՝ իր խիստ սահմանափակ զգացողությունը, օգտագործելով գյուտեր, որոնք հսկայական ազդեցություն ունեցան նրա հետագա ամբողջ կյանքի համար: Այդպիսի գյուտ էր հաշիվը, և հատկապես հաշվին ենք պարտական այն զարմանալի առաջընթացի համար, որին հասել ենք տիեզերքը թվի միջոցով արտահայտել ձգտելիս:
Կան վայրենի լեզուներ, որոնցում ծիածանի բոլոր գույների անունները կան, բայց «գույն» նշանակող բառը չկա. գոյություն ունեն այնպիսինները, որտեղ թվերի անունները կան, բայց «թիվ» բառը չկա: Նույնը արդարացի է նաև ուրիշ հասկացությունների վերաբերյալ: Անգլերենում բուն այդ լեզվին հատուկ շատ բառեր կան որոշակի տեսակի հավաքածուներ նշանակող՝ flock, herd, set, lot, bunch, այս բոլոր բառերը օգտագործվում են կոնկրետ դեպքերում՝ հոտ, ամբոխ, խումբ, փունջ և այլն, մինչդեռ aggregate, collection, հավաքածու, բազմություն բառերը փոխառված են:
«Շատ դարեր պետք եղավ, որպեսզի հայտնաբերեն,- ասում է Բերտրան Ռասելը,- որ փասիանների զույգը, և օրերի զույգը՝ երկուս թվի օրինակներ են»: До наших дней в английском языке существует несколько способов выразить понятие два: pair, couple, set, team, twin, brace и т.д., т.е. пара, двойка, двойня, чета и т.п.Մեր օրերում էլ անգլերենում մի քանի ձև կա եկուս հասկացությունը արտահայտելու համար՝ pair, couple, set, team, twin, brace և այլն, այսինքն՝ երկու հատ, երկուս, երկվորյակ, զույգ և այլն:
Թվի սկզբնական հասկացության չափազանց կոնկրետության շշմելու օրինակ կարող է ծառայել Բրիտանական Կոլումբիայում ապրող ցիմշիան հնդկացիների լեզուն:
Այդ լեզվում թվականների յոթ տարբեր հավաքածու կա՝ մեկը հարթ առարակաների և կենդանիների համար, երկրորդը կլոր առարկաների և ժամանակի համար, երրորդը մարդկանց հաշվելու համար, չորրորդը երկար առարկաների և ծառերի համար, հինգերորդը կանոեյի համար, վեցերորդը չափերի համար և յոթերորդը այն առարկաների համար, որոնք չի կարելի ճիշտ որոշել:
Վերջինները, հավանաբար, թարմ ձեռքբերում են, մնացած բոլորը գալիս են ավելի հին ժամանակներից, երբ այդ ցեղի ներկայացուցիչները դեռ հաշվել չգիտեին:
Հատկապես հաշիվը միավորեց կոնկրետը և, հետևաբար, բազմաքանակության տարասեռ հասկացություննրը, որոնք բնորոշ էին նախնադարյան մարդկանց, վերացական թվի համասեռ հասկացությունում, առանց որի անհնար է մաթեմատիկան:
Չնայած կարող է տարօրինակ թվալ, բայց կարելի է հանգել թվի տրամաբանական, պարզ հասկացությանը առանց հաշիվ կիրառելու:
Մտնում ենք դահլիճ: Մեր առջև երկու հավաքածու է՝ սենյակում տեղերը և ուսանողները: Առանց հաշվելու կարող ենք պարզել՝ հավասար են այդ հավաքածուները, և եթե հավասար չեն, նրանցից որն է շատ: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և ոչ մեկը կանգնած չէ, գիտենք, առանց հաշվելու, որ երկու հավաքածուները հավասար են: Եթե բոլոր տեղերը զբաղված են և սենյակում ինչ-որ մեկը կանգնած է, առանց հաշվելու գիտենք, որ ուսանողները ավելի շատ են, քան տեղերը:
Մենք դա պարզեցինք օգտվելով մի հասկացությունից, որը գերիշխում է ամբողջ մաթեմատիկայում և ստացել է փոխմիարժեք համապատասխանություն անվանումը: Փոխմիարժեք համապատասխանությունը հաստատելու պրոցեսը մի բազմության յուրաքանչյուր տարրին մյուս բազմությունից մեկ տարր համապատասխանացնելն է: Այս պրոցեսը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մի բազմությունը կամ երկուսն էլ սպառվեն:
Վայրենի շատ ցեղերի մոտ հաշվի տեխնիկան սահմանափակված է հենց այդպիսի համադրումով և համապատասխանություն հաստատելով: Նրանք իրենց հոտերի կամ բանակի մասի տեղեկությունը պահում են ծառի վրա արված կտրվածքի կամ քարի կույտի միջոցով: Այն մասին, որ մեր նախնիները այդ մեթոդի գիտակ են եղել, վկայում է tally և calculate բառերի ստուգաբանումը, որոնցից առաջինը առաջացել է լատիներեն talea՝ կտրվածք բառից, իսկ երկրորդը՝ լատիներեն calculus՝ քար:
Առաջին հայացքից թվում է, թե համապատասխանություն ստեղծելու մեթոդը կգործի միայն երկու հավաքածուների դեպքում, այլ ոչ թե թիվ ստեղծելու հարցում՝ այս բառի բացարձակ իմաստով: Սակայն հարաբերական թվերից բացարձակին անցնելը բարդ չէ: Անհրաժեշտ է միայն ստեղծել նմուշային հավաքածու, որի հետ հետո համեմատել ուսումնասիրվող հավաքածուներից յուրաքանչյուրը: Այդ դեպքում տրված յուրաքանչյուր հավաքածուի գնահատումը հանգում է համապատասխան նմուշային հավաքածուի ընտրությանը, որի յուրաքանչյուր տարրին կարելի է համապատասխանեցնել ուսումնասիրվող հավաքածուից մեկ տարր:
Նախնադարյան մարդը այդպիսի նմուշային հավաքածուներ հայտնաբերում է իր անմիջական շրջապատում՝ թռչունի թևերը կարող են երկուս նշանակել, երեքնուկի թերթիկները՝ երեք, կենդանու ոտքերը՝ չորս, իր ձեռքի մատները՝ հինգ: Թվականների այդպիսի ծագման մասին վկայությունները կարելի գտնել պարզագույն շատ լեզուներում: Իհարկե, այն բանից հետո, երբ թվականը ստեղծված և ընդունված է, այն դառնում է նույն ձևի լավ նմուշ, ինչպես և այն օբյեկտը, որը սկզբում ինքը ներկայացնում էր: Օբյեկտը, որից փոխ է առնված անվանումը, թվի անվանումից տարբերելու անհրաժեշտությունը բնականորեն հանգեցրել է բառի արտասանության փոփոխությանը, և ժամանակի ընթացքում անվանումների միջև կապը մառացվել է: Մարդը իր սովորելուն զուգընթաց ավելի շատ է ապավինում իր լեզվին, պատկերները դուրս են մղվում դրանք նշանակող հնչյունների կողմից և ի սկզբանե կոնկրետ օբյեկտները ընդունում են թվերի անվանումների վերցական ձևը: Հիշողությունը և սովորությունը այդ վերացական ձևերին կոնկրետություն են հաղորդում. այդպես պարզ բառերը դառնում են բազմաքանակության չափ:
Հենց նոր նկարագրված հասկացությունը կոչվում է քանակական թիվ: Քանակական թիվը հիմնված է համապատասխանության սկզբունքի վրա. այն հաշիվ չի ենթադրում: Հաշիվ ստեղծելու համար բավարար չէ ունենալ նմուշային հավաքածուի տարբեր տարրերից կազմված ամբողջություն, որքան էլ որ այդ ամբողջությունը լրիվ լինի: Անհրաժեշտ է մշակել թվերի համակարգ՝ մեր նմուշային հավաքածուները պետք դասավորված լինեն կարգավորված հաջորդականությամբ, այնպիսին, որ նրանում հաջորդելու կարգը որոշվի մեծության աճով, այսինքն բնական շարքով՝ մեկ, երկուս, երեք… Նման համակարգ ստեղծելուց հետո հաշվել հավաքածուի տարրերի քանակը, կնշանակի հավաքածուի յուրաքանչյուր հաջորդ ատարրին վերագրել բնական շարքից թիվ՝ աճման կարգով, մինչև ամբողջ հավաքածուն վերջանա: Հավաքածուի վերջին տարրին վերագրվող թիվը, կոչվում է հավաքածուի կարգային թիվ:
Система счета, основанная на порядковых числах, может принимать конкретную форму четок, но это, конечно, не обязательно.Կարգային թվերի վրա հիմնված հաշվարկի համակարգը կարող է ընդունել զույգերի կոնկրետ ձև, բայց դա, իհարկե, պարտադիր չէ: Կարգային համակարգը սկսում է գույություն ունենալ ոյն բանից հետո, երբ առաջին մի քանի թվը նշանակող բառերոը մնում են մարդկանց հիշողության մեջ որպես կարգավորված հաջորդականություն և առաջանում է հնյունական համակարգ, որոը հնարավորություն է տալիս ցանկացած մեծ թվի համար ստանալ նրա հաջորդ թիվը:
Մենք այնքան հեշըությամբ սովորեցինք անցնել քանակական թվականներից կարգայինների, որ մեզ համար երկու մոտեցումները միավորվել են մեկում: Հավաքածույում տարրերի քանակը, այսինքն կարգային թիվը, որոշելու համար, մեզ այլևս անհրաժեշտ չէ տարրերի համապատասխան քանակով հարմար նմուշային հավաքածու փնտրել, ուղղակի կարող ենք հաշվել: Մաթեմատիկայում մեր առաջընթացը պայամանավորված է նրանով, որ սովորել ենք նույնացնել թվի նկատմամբ երկու մոտեցումները: Իրոք, չնայած գործնականում մեզ պետք են քանակական թվերը, նրանք թույլ չեն տալիս թվաբանություն կառուցել: Թվաբանական գործողությունները հիմնված են ոչ ակնհայտորեն ընդունվող ենթադրության վրա, որ միշտ կարող ենք ցանկացած թվից անցնել հաջորդին, և հեց սա է դասական թվերի համակարգի էությունը: Այսպիսով, համապատասխանեցումը ինքնին թույլ չի տալիս կառուցել հաշվարկների արվեստը: Առանց իրերը կարգավորված հաջորդականությունում շարելու մեր կարողությանը, առաջընթացը աննշան կլիներ: Համապատասխանությունը և հաջորդելու կարգը ամբողջ մաթեմատիկայով անցնող երկու սկզբունք են, ավելին, ճշգրիտ մտածողության բոլոր ոլորտները հյուսված են մեր հաշվարկի համակարգի բուն գործվածքում:
Հիմա բնական է հետաքրքրվելը, թե քանակական և դասական թվերի միջև այդ նուրբ տարբերությունը ինչպես է ազդել թիվ հասկացության սկբնական պատմության վրա: Ցանկալի է ենթադրել, որ քանակական թվերը, որոնք հիմնված են համապատասխանության սկզբունքի վրա, հայտնվել են դասականներից ավելի շուտ, որոնց համար պահանջվում է և՛ համապատասխանեցում, և- կարգավորվածություն: Սակայն նախնադարյան մշակույթի և լեզվաբանության ամենամանրակրկիտ ուսումնասիրությունները այդպիսի օրինաչափություն չեն բացահայտել: Ամենուր, որտեղ կա հաշվի ինչ-որ համակարգ, թվերի նկատմամբ երկու մոտեցումն էլ դիտվել են:
Սակայն պարզվում է ամենուր, որտեղ գոյություն ունի հաշվի ինչ-որ տեխնիկա, որը այդպիսին կոչվելու արժանի է, դրան նախորդել կամ զուգահեռ գույություն է ունեցել մատներով հաշվելու տեխնիկա: Մարդու մատները հենց այն գործիքն է, որը քանակական թվականներից դասականներին աննկատ անցնելու հնարավորություն է տալիս: Եթե մարդը ցանակնում է ցույց տալ, որ ինչ-որ հավաքածու չորս տարր է պարունակում, նա կծալի կամ կբացի չորս մատ: Իսկ եթե նա ցանկանա հաշվել, թե քանի տարր կա այդ նույն հավաքածույուն, նա հաջորդաբար կծալի կամ կբացի մատները: Առաջին դեպքում նա օգտագործում է իր մատները ինչպես քանակական մոդելային հավաքածու, երկրորդ դեպքում՝ դասական համակարգ: Հաշվի այդպիսի ծագման մասին անառարկելի հղումներ գործնականում տեսանելի են ցանկացած պարզագույն լեզվում: Դրանցից շատերում «հինգ» բառը հնչում է ինչպես «ձեռք» բառը, «տասը» բառը՝ ինչպես «երկու ձեռք», իսկ երբեմն, ինչպես «մարդ»: Ավելին, շատ պարզագույն լեզուներում մեկից մինչև չորս թվերը նշանակող բառերը նույնական են համապատասխան մատների անուններին:
Առավել զարգացած լեզուները ենթարկվել են փոփոխության, և արդյունքում կորցրել բառերի սկզբնական նշանակությունը: Սակայն, դրանցում կարելի գտնել «մատների հետքերը»: Համեմատեք սանսկրիտով հինգ նշանակող pantcha բառը պարսկերեն «ձեռք» նշանակող pantcha բառի հետ. ռուսերեն «пять» բառը «пясть» բառի հետ, որը ձեռքի հինգ մատը բացած ափ է նշանակում:
Հաշվարկներում իր հաջողությունների համար մարդը պարտական է իր ճկուն տասը մատներին: Հենց այդ մատներն են նրան հաշվել սովորեցրել և հաշվելու հնարավորությունները ընդարձակել մինչև անվերջություն: Առանց այդ հարմարանքի մարդու հաշվելու տեխնիկան շատ հեռուն չէր գնա թվի մասին սաղմնային զգացողությունից: Ուստի կարելի է հիմնավորված ենթադրել, որ առանց մատների անհուսորեն կանգ կառներ թիվ հասկացության և, հետևաբար, ճշգրիտ գիտությունների զարգացումը, որին պարտական ենք մեր նյութական և մտավոր առաջընթացի համար:
Չնայած որ մեր երեխաները դեռ հաշվել սովորում են մատներով, և ինքներս էլ երբեմն խոսակցության մեջ մեր միտքը ընդգծելու համար դիմում ենք ձեռքերի օգնությանը, այնուամենայնիվ ժամանակակից քաղաքակիրթ մարդկությունը գրեթե կորցրել է մատներով հաշվելու արվեստը: Գրի զարգացումը, հաշվարկի հեշտացումը և համատարած կրթությունը այս արվեստը դարձրեցին հնացած և ոչ պետքական: Այս պայամաններում լրիվ բնական է թերագնահատել հաշվելու մեթոդների զարգացման պատմության մեջ մատներով հաշվելու դերը: Ընդամնեը մի քանի հարյուր տարի առաջ այն այնքան լայն տարածում ուներ Արևմտյան Եվրոպայում, որ թվաբանության ոչ մի ձեռնարկ չէր կարող լիարժեք համարվել, առանց այդ մեթոդներից օգտվելու մանրամասն բացատրության:
Սեփական մատները հաշվի և թվաբանական պարզ գործողություններ կատարելու համար օգտագործելու հմտությունը այն ժամանակ մարդու կրթվածության հատանիշներից էր: Սեփական մատների օգնությամբ թվերը գումարելու և հանելու կանոնները մշակելիս ցուցդրվել է մեծագույն հնարամտություն: Այսպես, մինչև մեր օրերը կենտրոնական Ֆրանսիայի(Օվերնի) գյուղացիները հինգից մեծ թվերը բազմապատկելու համար օգտագործում էին զարմանալի մեթոդ: Եթե պետք է հաշվել 9x8, նրանք ծալում են ձախ ձեռքի 4 մատը (4-ը ցույց է տալիս, թե 9-ը քանիսով է մեծ 5-ից) և աջ ձեռքի երեք մատը (8-5=3): Ծալած մատերի քանակը ցույց տալիս տասնավորը (4+3=7), իսկ չծալած մատների արտադրյալը՝ միավորների քանակը (1x2=2):
Նմանատիպ հայտնագործություններ կարելի է գտնել ամենատարբեր տեղերում, իչպես Բեսարաբիան, Սերբիան կամ Սիրիան: Դրանց զարմանալի նմանությունը և փաստը, որ այդ բոլոր երկրները ժամանակին եղել են մեծ Հռոմեական Կայսրության մեջ, հանգեցնում են այս բոլոր մեթոդների հռոմեական ծագում ունենալու մտքին: Սակայն ճշմարտանմանության նույն աստիճանով կարելի է պնդել, որ այդ մեթոդները անկախ են զարգացել, քանի որ նմանատիպ պայմանները բերում են նմանատիպ արդյունքների:
Եվ մեր օրերում մարդկության զգալի մասը մատներով է հաշվում. պետք է հիշենք, որ նախնադարյան հասարակության պայմաններում ապրող մարդկանց առօրյայում դա պարզ հաշվարկների միակ մեթոդն է:
Անհնար է ճիշտ նշել թվականների առաջացման ճիշտ շամանակաշրջանը, սակայն անտարակուսելի ապացույցներ կան, որ դրանք առաջացել են գրավոր պատմության ստեղծումից հազարավոր տարիներ առաջ: Մի փաստ արդեն նշվել է՝ եվրոպական լեզուներում թվականների նշանակության սկզբնական բոլոր հետքերը, միգուցե բացառությամբ հինգի, կորել են: Առավել ուշագրավ է, որ թվեր նշանակող բառերին, որպես կանոն, բնորոշ է բացառիկ կայունություն: Չնայած, որ ժամանակի ընթացքում լեզվի շատ բնագավառներում արմատական փոփոխություններ են կատարվում, գործնականորեն չի փոխվում: Բանասերները օգտագործում են այս կայունությունը, որպեսզի որոշեն լեզուների ենթադրաբար հեռացված խմբերի ազգացության աստիճանը: Ընթերցողը կարող է ծանոթանալ այս գլխի վերջում բերված աղյուսակին, որտեղ համեմատության համար բերված են թվերի անվանումները հնդեվրոպական խմբին պատկանող լեզուներով:
Ինչո՞ւ, չնայած այդպիսի կայունությանը, չենք կարողանում գտնել այդ բառերի սկզբնական անվանումների ոչ մի հետք: Կարելի է ենթադրել, որ թվեր նշանակող բառերը իրենց առաջացման պահից մնացել են անփոփոխ, իսկ կոնկրետ առարկաների անվանումները, որոնք փոխառնված էին թվականները նշելու համար, լրիվ ձևափոխվել են:
Ինչ վերաբերում է թվերի լեզվի կառուցվածքին, բանասիրական հետազոտություննրը գրեթե համատարած միօրինակություն են բացահայտել: Ամենուր, բոլոր լեզուներում մարդու տասը մատերը թողել են իրենց անփոփոխ հետքը: Ամեն դեպքում, կասկած չկա, որ մեր տասը մատերը ազդել են համրանքի համակարգի հիմքի «ընտրության» վրա: Հնդեվրոպական խմբի բոլոր լեզուներում, ինչպես նաև սիմիթական, մոնղոլական և շատ պարզունակ լեզուներում համրանքի հիմքը տասն է, կան մինչև տասը թվերի համար անկախ անուններ, իսկ տասից բարձր մինչ 100-ը եղած թվերի համար օգտագործում են ինչ-որ մի սկզբունք: Այս բոլոր լեզուներում կան առանձին անվանումներ 100 և 1000 թվերի համար, իսկ մի քանիսում՝ տասի ավելի բարձր աստիճանների համար: Կան և խաբուսիկ բացառություններ, ինչպես անգլերեն eleven և twelve և գերմաներեն elf և zwölf բառերը, բայց այս բառերը առաջացել են ein-lif և zwo-Iif բառերից, իսկ lif –ը հին գերմաներենում նշանակում է տասը:
Նաև անհրաժեշտ է ասել, որ բացի տասական հիմքից բավականին լայնորեն տարածված են համրանքի համակարգի էլի երկու հիմքեր,բայց նրանց տարբերիչ հատկությունյերը զգալի չափով հաստատում են համրանքի մեր համակարգի մարդակերպական բնույթը: Այդ երկու համակարգերն են հնգականը՝ 5 հիմքով և քսանականը՝ 20 հիմքով:
Հնգական համակարգում կան առանձին անվանումներ ընդհուպ հինգ թվի համար, իսկ բաղադրյալները սկսվում են դրանից հետո: (Նայեք գլխի վերջի աղյուսակը): Այսպիսի համակարգը, ակնհայտորեն, ծնվել է մարդկանց շրջանում, ովքեր վարժվել են հաշվել մեկ ձեռքի մատներով: Բայց ինչո՞ւ են մաչդիկ իրենց սահամնափակել մեկ ձեռքով հաշվելով: Հնարավոր է, որ նախանադարում ապրող մարդիկ շատ քիչ են եղել առանց զենքի: Երբ նա ցանկանում է որևէ բան հաշվել, զենքը դնում է թևատակը, որպես կանոն ձախ ձեռքի, և հաշվում է ձախ ձեռքի մատներով՝ աջ ձեռքը օգտագործելով նշելու համար: Սրանով կարելի բացատրել, թե ինչու են աջլիկները հաշվելու համար միշտ օգտագործում ձախ ձեռքը: Շատ լեզուներ իրենց վրա կրում են հնգական համակարգի հետքեր, և բնական է ենթադրելը, որ համրանքի որոշ տասական համակարգեր անցել են այդ փուլով: Որոշ բանասերներ պնդում են, որ նույնիսկ հնդեվրոպական լեզուներում թվականները հնգական ծագում ունեն: Այդ բանասերները նշում են հունարեն pempazein բառը, որը նշանակում է հնգյակներով հաշվել, ինչպես նաև հռոմեական թվականների անվիճելիորեն հնգական բնույթ ունենալը: Սակայն այս փաստի ուրիշ հաստատում չկա, և ավելի հավանական է, որ մեր խմբի լեզուները նախապես անցել են քսանական համակարգի փուլը:
Հավանաբար, այս համակարգը ծնվել է նախնադարյան ցեղերում, որտեղ ոտքերի մատների վրա հաշվել են այնպես, ինչպես՝ ձեռքերի: Որպես զարմանալի օրինակ կարելի է նշել Կենտրոնական Ամերիկայում մայա ցեղի հնկդիկների օգտագործած համակարգը: Անցյալում նմանատիպ համակարգ եղել է նաև ացտեկների մոտ. նրանք օրը 20 ժամի են բաժանել, իսկ նրանց բանակային ստորաբաժանումը 8000 զինվոր է ունեցել (8000=20x20x20):
Չնայած, որ մաքուր տեսքով քսանական համակարգը հազվադեպ է հանդիպում, շատ լեզուներ կան, որտեղ տասական և քսանական համակարգերը միաձուլվում են: Անգլերենում կան score (20), two-score (40), threescore (60) բառերը, իսկ ֆրանսերենում՝ vingt (20) և quatre-vingt (4 х 20):Ֆրանսիայում այս ձևը առաջ ավելի շատ էր օգտագործվում: Փարիզում 300 կույր վետերանների համար կառուցված հիվանդանոցը ունի հնացած և անսովոր անվանում Quinze-Vingt (15 х 20), իսկ Onze-Vingt (11 х 20) անվանումը կրում է սերժանտ-ոստիկանների կորպուսը, որը բաղկացած է 220 մարդուց:
Ավստրալիայի և Աֆրիկայի պարզունակ ցեղերը օգտագործում են ո՛չ հնգական, ո՛չ տասական, ո՛չ քսանական համակարգերը: Օգտագործում են երկուական համակարգ, այսինքն հիմքը 2 է: Այդ ցեղերը դեռ չեն հասել մատներով հաշվելու փուլին: Նրանց մոտ անկախ անուններ ունեն «մեկը» և «երկուսը» և բարդ անվանումներ մինչև վեցը: Վեցից մեծ ամեն ինչը անվանում են «շատ» բառով:
Կերը, ում ավստալիական ցեղերի հետ կապված արդեն հղում ենք արել, պնդում է, որ նրանցից շատերը հաշվում են զույգերով:Նրանց այդ ձևով հաշվելու սովորույթը այնքան ուժեղ է, որ եթե շարքով դրված յոթ գնդասեղից վերցնենք երկուսը, նա կարող է դա նույնիսկ չնկատել, իսկ եթե մեկը վերցնենք, իսկույն կնկատի: Զույգության այդ զգացողությունը ավելի ուժեղ է, քան թվի զգացողությունը:
Բավականի զարմանլի է, որ այս պարզագույն համակարգը համեմատաբար Լեյբնիցի նման հայտնի պաշտպան ձեռք բերեց: Երկուական համակարգում միայն երկու սիմվոլ են օգտագործում՝ 0 և 1, որոնց միջոցով էլ արտահայտում են մյուս թվերը, իչպես ցույց է տրված աղյուսակում:՝
տասական համակարգ 1 2 3 4 5 6 7 8
երկուական համակարգ 1 10 11 100 101 110 111 1000
տասական համակարգ 9 10 11 12 13 14 15 16
երկուական համակարգ 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Երկու հիմքով համակարգի առավելությունը անհրաժեշտ սիմվոլների քանակն է և հաշվարկների չափազանց պարզ լինելը: Հարկ է հիշել, որ համրանքի յուրաքանչյուր համակարգ պահանջում է մտքում պահել գումարման և բազմապատկման աղյուսակները: Երկուական համակարգի համար այդ աղյուսակները հանգում են երկու կանոնի՝ 1+1=10 և 1x1=1, մինչդեռ տասական համակարգում աղյուսակների յուրաքանչյուրը 100 բջիջ ունի: Սակայն այդ առավելությունը զգալի չափով փոխհատուցվում է սեղմության բացակայությամբ. այսպես, 4096 = 212 տասական թիվը երկուական համակարգում գրվում է 1 000 000 000 000:
Հենց երկուական համակարգի խորհրդավոր նրբությունը ստիպեց Լեյբնիցին բացականչել՝ Omnimbus ex nihil ducendis sufficit unum (մեկրը բավարար են ոչինչից ամեն ինչ ստանալու համար): Լապլասն ասել է.
Լեյբնիցը երկուական համակարգում տեսավ Արարման նախապատկերը... Նրան մեկը ներկայանում էր որպես Աստվածային սկիզբ, իսկ զրոն՝ անէություն և որ Բարձարագույն Էակը ամեն ինչ ստեղծում է անէությունից ճիշտ այնպես, ինչպես մեկը և զրոն իր համակարգում արտահայտում են բոլոր թվերը: Հայացքների այս համակարգը այնքան դուր եկավ Լեյբնիցին, որ նա դրա մասին հայտնեց ճիզվիտ Գրիմալդիին՝ չինացիների մաթեմատիկական ընկերության նախագահին, հույս ունենալով, որ Արարման այդ պատկերը կօգնի քրիստոնյա դարձնելու Չիանաստանի կայսրին, որվ շատ հետաքրքրված էր գիտություններով: Այդ մասին ասում եմ մայան այն պատճառով, որպեսզի ցույց տամ, թե ինչպես մանկական նախապաշարմուքները կարող են մթագնել նույնիսկ այդպիսի մեծ մարդու հայացքը»:
Հետքրքիր է երևակայելը, թե ինչպես կփոխվեր մշակույթի պատմությունը, եթե մարդը ճկուն մատների փոխարեն երկու անշարժ վերջույթ ունենար: Եթե նման պայմաններում համենայնդեպս առաջանար համրանքի համակարգ, այն, ավելի շուտ, երկուական կլիներ:
Այն, որ մարդկությունը ընդունել համրանքի տասական համակարգը ֆիզիոլագիական պատահականություն է: Ովքեր ամեն ինչում Նախախնամության եռքն են տեսնում, ստիպված են ընդունե, որ Նախախնամությունը մաթեմատիկայից լավ չէ: Բացի այն բանից, որ այդ համակարգը հարմար է ֆիզիոլագիական տեսանկյունից, այն քիչ բանով է գրավիչ: Ցանկացած այլ հաակարգ, բացի, հնարավոր է, իննականից կարող էր նույնքան լավը լինել, իսկ հավանաբար ավելի լավը:
Իսկապես, եթե ընտրությունը թողնվեր փորձագետների խմբին, ականատեսը կլինեինք սուր վեճի պրակտիկ անձանց, որոնք կպնդեին հնարավորին չափ շատ բաժանարարներ ունեցող թվի վրա, ինչպեսին է 12-ը, և մաթեմատիկոսների, ովքեր կցանկանային, որ որպես հիմք պարզ թիվ ընտրվեր, ինչպիսին է 7-ը կամ 11-ը: Իրոք, տասնութերորդ դարի վերջի մեծ բնախույզ Բյուֆոնը առաջարկեց ամենուր օգտագործել համրանքի տասներկուական համակարգ: Նա նշում էր այն փաստը, որ 12 թիվը չորս բաժանարար ունի, մինչդեռ 10 թիվը ընդամենը՝ երկու, և պնդում էր, որ դարերի ընթացքում տասական համակարգի այդ թերությունը այնքան խիստ է զգացվել, որ չնայած հիմքը տասն է եղել, չափի միավորների մեծ մասը բաղկացած են 12 մասից:
Մյուս կողմից, հայտնի մաթեմատիկոս Լագրանժը հայտարարել է, որ որպես համրանքի համակարգի հիմք պարզ թիվը շատ ավելի նախընտրելի է: Նա նշում էր այն փաստը, որ այդ դեպքում համրանքի համակարգի հիմքով բոլոր կոտորակները անկրճատելի կլինեն: Օրինակ, համրանքի ժամանակակից համակարգում 0,36 տասնաորդական կոտորակը իրականում շատ կոտորակներ է նշանակում՝ Համարվում է, որ այդպիսի անորոշությունը կնվազեր, եթե որպես հիմք ընդունվեր պարզ թիվ, օրինակ՝ 11:
Ինչն էլ ընտրելու լիներ փորձագետների խումբը, ում վստահվել էր համակարգի հիմքի ընտրությունը՝ պարզ թե բաղադրյալ թիվ, կարելի է երաշխավորել, որ տասը թիվը ընդհանրապես չէր դիտարկվի, քանի որ այն պարզ չէ և բավականաչափ բաժանարարներ չունի:
Մեր ժամանակներում, երբ հաշվիչ սարքերը գրեթե բոլորովին դուրս են մղել բանավոր հաշիվը, ոչ ոք նման ենթադրությունները լուրջ չի ընդունում: Առավելությունները այնքան աննշան կլինեն, իսկ տասնկյակներով հաշվելու ավանդույթը այնքան ուժեղ է, որ այս խնդիրը ծիծաղելի է թվում
Մշակույթի պատմության տեսանկյունից, նույնիսկ գործնական նկատառումների բխող հիմքի փոփոխությունը, խաիստ անցանկալի է: Քանի դեռ մարդը հաշվում է տասնյակներով, նրա տասը մատը հիշեցնում են մտածողությոնա այս առավել կարևոր բնագավառի մարդկային ծագումի մասին:
Հնարավոր է, որ տասական համակարգը կոչված է ծառայելու որպես կենդանի հիշեցում, որ ամենի ինչի չափը Մարդն է:
Ժան Պիաժե
Ժան Պիաժե (1896 - 1980), շվեյցարացի հոգեբան, մանկավարժ-փիլիսոփա։ Մտածողության հոգեբանական և իմացաբանական հարցերի լուծման նոր ուղղության հիմնադիր։ Սովորել է Նեշատալի, Ցյուրիխի, Փարիզի համալսարաններում։ Նեշտալի (1926-1929) և Լոզանի (1937—1954) համալսարանների պրոֆեսոր։ Գտիական առաջին աշխատանքը հրատարակվել է 15 տարեկանում։ Զարգացրել է հոգեկանի մասին գենետիկական ընդհանրացված տեսությունը, մշակել է տրամաբանական և իմացաբանական, հոգեբանական և կենսաբանական հասկացությունների համակարգ։ Մեծ ավանդ ունի մանկական հոգեբանության մեջ։ Տարբեր մասնագիտությունների ներկայացուցիչների համագործակցությամբ, ճանաչողության միասնական տեսություն ստեղծելու նպատակով հիմնադրել է Գենետիկական իմացաբանության միջազգային կենտրոն (Փարիզ, 1955)։ 1929 Ժնևի Ժան ժակ Ռուսոյի ինստիտուտի դիրեկտոր։ Գիտական ուղևորությամբ եղել է ԽՍՀՄ-ում (1955 - 1966)։
Ես կարողանում եմ`
- Օգտվել համացանցից
- Ունեմ բլոգ, կարողանում եմ այն գործածել
- Գործածել իմ Էլ. փոստը, կցել ֆայլ, նամակ ուղարկել
- Գտնել համացանցից ինձ հետաքրքրող մաթեմատիկական խնդիրներ, պահանջը փոփոխել, կազմել մեկ այլ խնդիր, վերլուծել այն
- Օգտվել Word-ի Equation վահանակից
- Գրանցված եմ Mathematics.am կայքում, կարողանում եմ լուծել այդ կայքի առաջին կարգի բարդության խնդիրները:
- Թարգմանել եմ Զվոնկին` «Փոքրերը և մաթեմատիկան» գրքից ինձ հետաքրքրող գլուխը:
Ստորև կարող եք տեսնել իմ կատարած աշխատանքները, լուծած վարժությունները, որոնք ես պարբերաբար տեղադրել եմ իմ բլոգում:
թվեր
Պարզ
թվերը, պատկերավոր ասած, այն շինարարական աղյուսիկներն են, որոնցից կարելի է
կառուցել մյուս բոլոր թվերը: Պարզ են կոչվում այն բոլոր ամբողջ թվերը, որոնք,
մեկից և իրենք իրենցից բացի, ուրիշ ոչ մի թվի վրա չեն բաժանվում: Օրինակ` 2, 3, 5, 7, 11, 13-ը պարզ թվեր են: Գոյություն
ունի պարզ թվերի անվերջ բազմություն:
Իսկ
այն թվերը, որոնք կարելի է վերածել բաղադրիչների, կոչվում են բաղադրյալ թվեր: 6-ը
բաղադրյալ թիվ է, որովհետև այն կարելի է ներկայացնել այսպես՝ 6 = 2 x 3: Այս
օրինակում 2 և 3 թվերը կոչվում են արտադրիչներ: Բոլոր բաղադրյալ թվերը կարելի է
ստանալ պարզ թվերն իրար հետ բազմապատկելով: Թվերը ենթարկվում են որոշակի
կանոնների: Եթե ցանկացած 2 զույգ թվեր գումարենք իրար կամ բազմապատկենք, ապա միշտ
կստանանք զույգ թիվ: 2 կենտ թվեր գումարելով՝ նույնպես միշտ կստանանք զույգ թիվ:
Իսկ եթե իրար հետ բազմապատկենք 2 կենտ թվեր, պատասխանը նույնպես կլինի կենտ
թիվ:
Տնային աշխատանք
2.12.13թ.
Խնդիր`1078
400հա.-1\8մաս.ցորեն
Մնացածը –եգիպտացորեն
Քանի հեկտար մակերեսի վրա է եգիպտացորեն ցանված:
Լուծում
1)400:1\8=50հա.
2)400-50=350 հա.
Վարժ`1079
563002889321<562378989321
Վարժ`1080
ա)(26554-80):854+(4493-56):261=48
1)26554-80=26474
2)4493-56=4437
3)26554:854=31
4)4437:261=17
5)31+17=48
բ)(3749+87):137-(7533-5674):143=25
1)3749+87=3836
2)7533-5674=1859
3)3836:137=28
4)1859:143=3
5)28-3=25
գ)(57038-4316):101+(4325+1642):351=539
1)57038-4316=52722
2)4325+1642=5967
3)52722:101=522
4)5967:351=17
5)522+17=539
դ)(153434+643):203-(29857+698):97=444
1)153434+643=154077
2)29857+698=30555
3)154077:203=759
4)30555:97=315
5)759-315=444
Վարժ`1081
Որ թիվն է ավելի մեծ `ամենամեծ
զույգ վեցանիշ թիվը, թե
ամենամեծ կենտ վեցանիշ
թիվը:
Պատ.`ամենամեծ կենտ թիվը -999999
Խնդիր`1082
Լուծում
1)8+19=27
2)27:19=1(8մն.)
Վարժ`1083
Պատ.` այո
Քանի որ 10 : է և 5-ի և2-ի:
Խնդիր`1084
Քանի օր է 100800 րոպեն:
Լուծում
1)60x24=1440օր
2)100800:1440=70օր
Պատ.`70 օր:
Խնդիր`1085
S=AC x CD =4սմ x 4սմ=16սմ
Խնդիր`1086
Ուղղ.մակ.-2475սմ
Որքան է երկ.-3անգամ
Լայն-5անգամ ավելի փոքր քան տրվածը:
Լուծում
1)2475:3=825
2)2475:5=495
3)825+495=1320սմ:
Կոտորակների հիմնական հատկությունը:
Եթե կոտորակի համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն թվով ապա կոտորակը չի փոխվում:
Նման ձևով եթե բաժանենք միևնույն
թվի վրա կոտորակը չի փոխվելու-կրճատում:
25\100=1\4
30\300=1\10
66\80=33\40
150\1000=3\20
25\30=5\6
8\12=16*24
1\3,2\5 1\10
20\60,24\60 6\60
1\3,1\4 1\12
8\24,6\24 2\24
1122-1132
1125
2\3,3\4 11\12 40\48 51\72
16\24 ,18\24, 22\24 ,20\24,17\24
9.12.13թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`1122
ա.18\27 և 2\3
18x3=27x2
54=54
18\27=2\3
բ.33\11 և 15\5
33x5=11x15
165=165
33\11 =15\3
գ.20\24 և 5\6
20x6=24x5
120 =120
20\24=5\6
դ.4\3 և12\36
4x36=3x12
144 ≠36
4\3≠12\36
ե.21\24 և 3\2
21x2=24x3
42 ≠72
21\24≠3\2
զ.88\16 և 11\2
88x2=16x11
176 =176
88\16=11\2
է.96\182 և 1\2
96x2=182x1
192 ≠182
96\182≠1\2
ը.21\10 և105\50
21x50=10x105
1050=1050
21\10=105\50
Վարժ`1123
3\6=1\2
5\10=1\2
6\12=1\2
7\14=1\2
8\16=1\2
9\18=1\2
10\20=1\2
Վարժ`1124
ա.1\3 և 3\9
1x9=3x3
9=9
1\3=3\9
բ.2\5 և 8\20
2x20=5\8
40=40
2\5=3\9
գ.7\4 և 14\8
7x8=4x14
56=56
7\4=14\8
դ.8\13 և 24\39
8x39=13x24
312 =312
8\12=24\39
Վարժ`1125
2\3,3\4 11\12 40\48 51\72
16\24 ,18\24, 22\24 ,20\24,17\24:
Վարժ`1126
ա.1\2=50\100
3\4=18\24
9\12=3\4
բ.25\40=5\8
48\96=2\4
Վարժ`1127
3\4 x 12\16
3\4 x 60\80
Վարժ`1128
ա.1\2=*\8
1\2=4\8
բ.1\3=*\27
1\3=7\27
գ.2\5=*\20
2\5=8\40
դ.5\6=20\*
5\6=20\24
ե.4\3=16\*
4\3=16\12
զ.7\8=21\*
7\8=21\24
է.2\3=*\27
2\3=18\27
ը.4\*=2\23
4\46=2\23
թ.*\10=10
100\10=10
ժ.1=2\*
1=2\2
Խնդիր`1129
Ունենք երկու կոտորակ
Նրանցից մեկը-14 է
Իսկ երկրորդը-98
Առաջին կոտորակի համարիչը 7 անգամ փոքր է երկրորդի համարիչից:
Իրար հավասար են արդյոք այդ կոտորակները:
Լուծում
3\14=21\98
9\14=28\98
Վարժ`1130
8\12=2\3, 21\14=3\2,
35\15=7\3, 18\24=3\4, 36\48=9\12
Վարժ`1131
ա.5\100=1\20,
36\24=6\4,
19\57=1\3,
18\12=3\2,
36\24=6\4,
6\4=3\2
32\88=4\11
բ.72\60=6\5,
44\99=4\9,
30\9=10\3,
84\66=28\22,
132\81=44\27,
169\26=13\2
Վարժ`1132
ա.4\8=2\4,
26\39=2\3,
3\12=1\4,
57\34=չի կրճատվում
60\75=4\5
36\83=չունեն ընդ. բաժ.
99\67=չունեն ընդ. բաժ.
բ.90\35=18\7,
14\42=1\3,
55\121=5\11,
23\67=չունեն ընդ.բաժ.
84\126=14\21,
87\27=29\9,
65\51=չունեն ընդ.բաժ.
16.12.13.թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`1173
ա)8\35 + 9\35=8+2\35=10\35=2\7
բ.14\7+85\7=14+85\7=99\7
գ.4\15+8\15+3\15=5+9+4\15=15\15=1
դ.38\93+16\93+105\93=38+16+105\39=159\93=53\31
ե.36\127+9\127=36+9\127=45\127
զ.34\100+116\100=34+116\100=150\100=75\50=6\5
Վարժ`1178
ա.1\2+1\4=1x4\2x4+1x2\8x2=4\8+2\8=6\8=3\4
բ.1\3+1\4=1x4\3x4+1x3\4x3=4\12+3\12=4+3\12=7\12
գ.5\6+2\9=5x3\6x3+2x2\9x2=15\18+4\18=15+4\18=19\18
դ.7\8+5\18=7x9\8x9+5x4\18x4=63\72+20\72=63+20\72=83\72
ե.11\12+3\18=11x3\12x3+3x2\18x2=33\36+6\36=33+6\36=39\36=13\12
զ.7\20+11\15=7x3\20x3+11x4\15x4=21\60+44\60=21+44\60=65\60=13\12
Խնդիր`1179
1օր վարսակ-3\7մասը
2օր-5\11մասում
Դաշտի որ մասում է նա վարսակ ցանել այդ երկու օրում:
Լուծում
1) 3\7+5\11=33+35\77=68\77
Վարժ`1180
ա.3\2+1\18+1\9=3x9\18+1x1\18+1x2\18=29\18
բ.7\3+3\6+5\24=7x8\24+3x4\24+5x1\24=83\24
գ.5\21+11\14+9\28=5x4\84+11x6\84+9x3\84=113\84
դ.19\15+6\5+13\30=19x2\30+6x6\30+13x1\30=87\30
ե.7\6+5\4+17\18=7x6\36+5x9\36+17x2\36=135\36
զ.3\5+7\6+19\12=3x12\60+7x10\60+19x5\60=201\60
Վարժ`1221
ա.13\5-9\5=4\5
բ.9\11-2\11=7\11
գ.63\15-48\15=15\15=1
դ.100\19-31\19=69\19
Վարժ`1225
ա)*+4\9=5\9
*=5\9-4\9=1\9
բ)*+11\12=29\12
*=29\12-11\12=18\12
գ)18\13+*=24\23
*=24\23-18\23=6\23
18\23+6\23=24\23
Վարժ`1227
թ.35\48-17\36=35x3-17x4\144=105-68\144=37\144
ժ.43\64-15\24=43x3-15x8\192=129-120=3\64
ժբ.72\169-5\26=72x2-5x13\338=144-65\338=79\338
Վարժ`1311
ա.3\8:7\4=3:4\8:7=3\14
բ.20\5:13\36=20\5:36\13=20x36\5x13=720\39=240\13
գ.9\35:3\7=9:7\35:5=3\5
դ.121\63:11\9=121:9\63:11=1\7
ե.1024\625:64\125=1024:125\625:64=16\5
Վարժ`1314
ե.12:4\7=12x17\1x48=17\4
զ.15:48\17=15x16\1x35=48\7
ը.33:22\19=33x19\1x22=57\2
Самый древний математический труд был
найден в Свазиленде – кость
бабуина с выбитыми чёрточками (кость из Лембобо), которые
предположительно были результатом какого-то вычисления. Возраст кости – 37
тысяч лет. Во Франции был найден ещё
более сложныйматематический труд – волчья кость,
на которой выбиты чёрточки, сгруппированные по пять штук. Возраст кости – около
30 тысяч лет.
Ну и наконец знаменитая кость из Ишанго (Конго) на которой выбиты группы простых чисел. Считается, что кость возникла 18-20 тысяч лет назад.
А вот древнейшим математическим текстом могут считаться вавилонские таблички с кодовым названием Plimpton 322, созданные в 1800-1900 году до нашей эры.
Հնագույն մաթեմատիկա
Древние
египтяне заметили, что во время летнего солнцестояния Солнце освещает дно
глубоких колодцев в Сиене (ныне Асуан), а в Александрии – нет. У Эратосфена
Киренского (276 год до н. э.—194 год до н. э.) появилась гениальная идея –
использовать этот факт для измерения окружности и радиуса Земли. В день летнего
солнцестояния в Александрии он использовал скафис – чашу с длинной иглой, при
помощи которого можно было определить под каким углом Солнце находится на небе.
Итак, после измерения угол оказался 7 градусов 12 минут, то есть 1/50 окружности. Стало быть Сиена отстоит от Александрии на 1/50 окружности Земли. Расстояние между городами считалось равным 5,000 стадиям, следовательно окружность Земли равнялась 250,000 стадиям, а радиус тогда 39,790 стадиев.
Неизвестно каким стадием пользовался Эратосфен. Если греческим (178 метров), то его радиус земли равнялся 7,082 км, если египетским, то 6,287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6,371 км. В любом случае, точность для тех времён потрясающая!
Առաջին անգամ երկիրը չափել շառավղով
Мы считаем отрицательные числа чем-то
естественным, но так было далеко не всегда.
Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.
В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами – в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бесмыссленными…
Древняя математика
Հնագույն մաթեմատիկա
Հնագույն մաթեմատիկա
Самый древний математический труд был
найден в Свазиленде – кость
бабуина с выбитыми чёрточками (кость из Лембобо), которые
предположительно были результатом какого-то вычисления. Возраст кости – 37
тысяч лет. Во Франции был найден ещё
более сложныйматематический труд – волчья кость,
на которой выбиты чёрточки, сгруппированные по пять штук. Возраст кости – около
30 тысяч лет.Ну и наконец знаменитая кость из Ишанго (Конго) на которой выбиты группы простых чисел. Считается, что кость возникла 18-20 тысяч лет назад.
А вот древнейшим математическим текстом могут считаться вавилонские таблички с кодовым названием Plimpton 322, созданные в 1800-1900 году до нашей эры.
Հնագույն մաթեմատիկա
Ամենահին մաթեմատիկական աշխատանքը հայտնաբերվել է Սվազիլենդում-բաբուինների
ոսկորները ինչ, որ նշաններով,որոնք ենթադրաբար արդյունքներն են այն բանի ինչ, որ հաշվարկի
արդյունքներն են:Ոսկորների տարիքը 37 հազար տարեկան էր:Ֆրանսիայում գտել են ավելի դժվար
մաթեմատիկական աշխատություն,գայլային ոսկոր,որի վրա կային այդ գծիկները,խմբավորում
են հնգական և որոշում են ոսկորի տարիքը,մոտավորապես 30 հազար տարի:
ԵՎ վերջապես հայտնի ոսկորը
գտնվում է Կոնգոյում որի վրա կան հասարակ նշաններ:
Հաշվում են,որ ոսկորը հայտնաբերվել է 18-20տարի առաջ:
Ահա հին մաթեմատիկական տեկստով կարող են հաշվել Բաբելոնական աղյուսակը
որը կրում է Plimpton 322,ստեղծված են 1800-1900թթ.մ.թ.ա.
Как впервые измерили радиус Земли
Древние
египтяне заметили, что во время летнего солнцестояния Солнце освещает дно
глубоких колодцев в Сиене (ныне Асуан), а в Александрии – нет. У Эратосфена
Киренского (276 год до н. э.—194 год до н. э.) появилась гениальная идея –
использовать этот факт для измерения окружности и радиуса Земли. В день летнего
солнцестояния в Александрии он использовал скафис – чашу с длинной иглой, при
помощи которого можно было определить под каким углом Солнце находится на небе.Итак, после измерения угол оказался 7 градусов 12 минут, то есть 1/50 окружности. Стало быть Сиена отстоит от Александрии на 1/50 окружности Земли. Расстояние между городами считалось равным 5,000 стадиям, следовательно окружность Земли равнялась 250,000 стадиям, а радиус тогда 39,790 стадиев.
Неизвестно каким стадием пользовался Эратосфен. Если греческим (178 метров), то его радиус земли равнялся 7,082 км, если египетским, то 6,287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6,371 км. В любом случае, точность для тех времён потрясающая!
Առաջին անգամ երկիրը չափել շառավղով
Հնագույն եգիպտացիները նկատել են,որ ամառային արևադարձի ժամանակ արևը լուսավորում է ջրհորների խորը հատակը Սիեննայում,իսկ Ալեքսանդրիայում ոչ:ՈՒ Էռատոսֆենա Կիռեսկոյի մոտ հայտնվեց մի հանճարեղ միտք օգտագործել այդ փաստը չափելու համար երկրի շառավիղը Ալեքսանդրիայում,որի օգնությամբ հնարավոր եղավ որոշել ինչ անկյունի վրա է գտնվում արևը երկնքում:Եվ այսպես անկյունը չափելուց հետո պարզվեց 7 աստիճան 12րոպե,այսինքն
1/50 շրջան:Այսպիսով Սիեննան հետ է մնում Ալեքսանդրիայից 1/50 երկրի շրջանագծով:Երկու քաղաքների միջև տարածությունը համարվում է 5000 փուլերին հավասար,հետևաբար երկրագնդի շրջանագիծը հավասարվում էր 250,000 փուլերի,իսկ ռադիուսը այդ ժամանակ 39,790 փուլեր:Հայտնի չէ, թե ինչպես է օգտագործվում Էռաստոսֆենան:Եթե հունական,ապա դա հավասարվում էր երկրի ռադիուսի
7,082կմ-ի,եթե եգիպտական ապա 6,287կմ:Ներկայիս չափումները տալիս են միջին արժեքի շառավղով երկրին
6,371կմ:Ամեն դեպքում,ճշգրտությունը այդ ժամանակներում հիանալի է:
Судьба отрицательных чисел
Мы считаем отрицательные числа чем-то
естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.
В Европе отрицательные числа появились благодаря Леонардо Пизанскому (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами – в 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бесмыссленными…
Ճակատագրի բացասական թվերը
Մենք համարում ենք բացասական թվերին ինչ, որ իրականում է բայց այդպես
եղել է ոչ միշտ:Առաջին օրինական բացասական թվերը եղել են Չինաստանում 3-րորդ դարում,բայց
օգտագործում էին միայն առանձնահատոկ դեպքերում,քանի, որ համարում էին անիմաստ:Մի քիչ ավելի ուշ բացասական թվերը սկսեցին օգագործել Հնդկաստանում
պարտքերի նշանակման համար,բայց նրանք արևմուտքում չապրեցին:Հայտնի Դիոֆանդ Ալեքսանդրիակին
պնդում էր,որ 4x+20=0-հավասարությունը անիմաստ է:Եվրոպայում բացասական թվերը հայտնվեցին
ի շնորհիվ Լեոնարդո Պիզանակու,որը նույնպես օգտվում էր դրանից ֆինանսական խնդիրները
պարտքերով լուծելու համար:1202թ.նա առաջին անգամ օգտագործեց բացասական թվերը իր կորուստները
հաշվելու համար:Այնուամենայնիվ մինչև 17-երորդ դարում,հայտնի մաթեմատիկոս Պասկալը պնդում
է,որ 0-4=0,այսպիսի հավասարություն չկա,իսկ մինչև 19-երերդ դարը,հաճախ անտեսվում էին
նրանց համարելով անիմաստ:
31.03.2014թ.
Գրավոր աշխատանք ամփոփում:
Գրավոր աշխատանք:
1.-7, 4,4, +12,3:
2.7•(-7)=-49
3.10/9-x=x
-x-x=10/9
-2x=10/9
X=10/9:2/1=10/9•1/2=5/9
Ստ.10/9-5/9=10-5/9=5/9
4.P=10x4
P=40
P=4անգամ մեծ
5.x+45=90
X=90-45
X=45
10+2(x+5)=100
10+2x+10=100
2x=100-10-10
2x=80
X=80:2
X=40
6.1/4+4/3=3+16/12=19/12=1 7/12
1/3+1/2=2+3/6=5/6:
Նախագիծ 1.Բացասական թվեր
--5-4--3--2---1---------.0------.1---2--3---4--5----6----à+
Բացաս դրական
Ամբողջ թվեր-Z NCZ -5( +5)=
N-բնական թվեր
ընկած է: հակադիր
0-ոչ բացասկան և ոչ էլ դրական : - (+5)
-1 –բացասական
-5-բացասկան
Նշենք մի քանի հակադիր թվերի զույգեր:
-2;+2 հակադիր
-(-1)=+1
- (-500)=500
-(620)=620
-(+2)=-2
Գործողություններ բացասական թվերի հետ:
-7-6--5--4-3--2--1-----0--1--2-3--4--5--6--7------à
-2+4=2
-3+1=-2
-6+2=-3
-5+4=-1
21.01.14թ.
Թվի բացարձակ արժեք
-------4--3---2--1--0--1-2-3--4-----------à+
/ / -բացարձակ արժեք
, մոդուլ
/2/=2
/-2/=2
/0/=0
/-7/=7
/-2/+7=2+7=9
Առաջադրանք 1.
-1,2,0,-14,-7,11,-30
ա.Դասավորել նվազման կարգով
բ.Հաշվել բացարձակ արժեքները դասավորել աճման կարգով
Լուծում
2,0,,-1,-7,-14,-11,-30
/-30/=30
11,1,2,0,7,14, 30
/-14/=14
/-7/=7
/-1/=1
/-11/=11
/2/=2
/0/=0
Գտնել աստղանիշը
/*/=8
/-8/=8
/-*/=1
/-1/=1
/*/=0
/0/=0
3+/*/=7
3+/4/=7
2x/*/=4
2x/2/=4
2.Գտնել ամբողջ թվերի
քանակը
0<*<3 x=1:2
պատ`.2
0<2<3
8<*<12
8<9<12
-6<*<-1
-6<-3<-1
-1<*<1
-1<0<1
3.Հաշվել
/-61/+/4/=65
/-999/x/-2/=1998
/15/x/-12/=180
/44/:/-4/=11
4. 18x/-8/+3x/+4/+10015=10171
144+12+10015=10171
Պողոսյան Նիկիտա մաթեմատիկա
5 -10 դասարանցիների համար:
Ամբողջ թվերի բաժանումը
- :- =+
+:+=+
-:+=-
+:-=-
Օրինակներ -66:(-6)= +/-66/:/-6/=11
-4:(+4)=-/-4/:/4/=-1
Միևնույն նշանն ունեցող
ամբողջ թվերի քանորդը դրական ամբողջ թիվ է:
Տարբեր նշաններ ունեցող ամբողջ թվերի քանորդը բացասական ամբողջ թիվ է:
Վարժ`671
ա)+38:(-19)
+/38/:/-19/=/38/:/-19/=-2
բ.-600 :(-150)
/-600/:/-150/=4
գ.-720:(+120)
/-720/:/+120/=-6
դ.-420:(-15)
/-420/:/-15/=28
10 օրինակ բաժանում բազմապատկում
3.01.2014թ.
Տնային աշխատանք
+16:(-8)
/16/:/-8/=-2
-14:(-7)
/-14/:/-7/=2
-8:(+2)
/-8/:/2/=4
33:(-3)
/33/:/-3/=-11
-16:(-4)
/-16/:/-4/=4
99:(-11)
/99/:/-11/=-9
88:(-4)
/88/:/-4/=-22
-111:(-3)
/-111/:/-3/=37
-121:(11)
/-121/:/11/=-11
+825:(-25)
/825/:/-25/=-33
-5x (-7)
/-5/ x /-7/=35
+450 x (-2)
/450/ x /-2/=-900
-30x (+15)
/-30/ x /15/=-450
+12 x (+6)
/12/ x /6/=72
-40 x (-90)
/-40/ x /-90/=3600
+80 x (-70)
/80/ x /-70/=-5600
-90 x ( +15)
/-90/ x /15/=-1350
-200 x ( -333)
/-200/ x /-333/=66600
+500 x (-999)
/500/ x /-999/=-499500
-666 x ( 0)
/-666/ x /0/=0
. . .
. . .
. .
Կարող է լինել ընդամենը 4 հատ քառակուսի:
1.4
2.2.
3.6
4.
5.12սմ
6.Այսինքն 24 :6 ,42:6,36:6 գտել ենք ամենապոքր բազմապատիկը:
7.36
04.02.2014
Գործողություններ բացասական թվերի հետ:
-
-----7-6-5-4--3-2-1- 0 -1-2-3-4-5-6-7------------ +à
Գումարում
+2 +4 =2+4=6
-3 +(-4)=-7
-10 + -20=-30
+10 + -20=-10
Միևնույն նշան ունեցող
ամբողջ թվերը, գումարելու համար 1.Գումարում ենք այդ թվի մոդուլները, 2.Դնում ենք ամբողջ
թվի նշանը:
Տարբեր նշաններ ունեցող
ամբողջ թվերի գումարը հաշվում ենք:
1. Գտնում ենք այդ թվերի մոդուլի տարբերությունը. 2.Դնում ենք մոդուլով մեծ թվի
նշանը:
-2 +(-4)=-6
+3 +(-5)=-2
-10 +(-9)=-19
-31 +(-42)=-73
5+45=50
-5+45=40
-3+(-13)=-16
-9+(+14)=5
48+(-12)=36
50+(-10)=40
10.02.14
Տնային աշխատանք
-8+ (-20)=-28
12+(-6)=6
4+(-24)=-20
-30+(-60)=-90
-30+(+4)=-26
44+(+16)=60
-7+(+22)=-15
40+(-18)=22
-34+(-12)=-46
33+(-13)=20
-54+(-25)=-79
72+(-35)=37
24.02.14
Ռացիոնալ թվեր
Z-ամբողջ թվեր(0, + -1, + -2, + -3)
Ռացիոնալ թվերի դաշտ`Q
(0,P/8,P
Z, Q
N)
Օրինակ ½, -1/2, -3/4; -3/4
-------4---3---2—1—1/2-1/4-0 1/3-1/2
-1-2-3-4-5-------------à
Սահմանում `Դրական և բացասական կոտորակային
թվերը, 0 կազմում են ռացիոնալ թվեր:
773.ա)/-7/ 2/9=7 2/9
բ.)-6 3/10= 6 3/10
գ)+3 ¾=-3 ¾
դ.)0=0
ե)+15 23/24=-15 23/24
զ)-10 87/100 = 10
87/100
է)-9 7/8=9 7/8
ը)+367/589=367/589
774.զ.8 3/10 և 8 4/9
3/10 4/9
27/90 < 40/90
2 11/12 և 2 5/6
ա)+3 4/5 և
-2 1/6
+3 4/5 > -2 1/6
բ)-6 3/10 և 0
-6 3/10 < 0
գ)-9 1/10 և
-8 2/3
դ)0 և + 6 ½
0<+6 ½
ե)-3 5/6 և
-3 ¾
-3 5/6 = -3 ¾
775.
ա) ոչ գ) այո ե)
այո
բ)ոչ դ)ոչ զ)ոչ
11/12 >5/6
11/12>10/12
773.774,775
25.02.14
Գործողություններ ռացիոնալ թվերի հետ:
Բազմապատկում, բաժանում:
Օրինակ` 1/3 x (-2/5)=-2/15
-1/4x (-2/7)=2/28 =1/14
1x (-1/3)=-1/3=-1/3
Սահմանում` միևնույն նշանն ունեցող երկու ռացիոնալ թվերի արտադրիալը
Թվերի արտադրիալը դրական
ռացիոնալ թիվ է, որի բացարձակ
արժեքը հավասար է արտադրիչների բացարձակ արժեքների
արտադրյալին:
Տարբեր նշաններ ունեցող
երկու ռացիոնալ թվերի արտադրիալը բացասական
ռացիոնալ թիվ է, որի բացարձակ
արժեքը հավասար է արտադրիչ բացարձակ
արժեքների արտադրյալի:
Տնայիններ
797 ա.մինչև բ. Գ.
798ա.բ.գ.դ
Բաժանում
4/5 :(-1/3)=4/5 x -3/1=-12/5
Տնայիններ
801 a,b
802a,b
03.03.14թ.
Տնային աշխատանք
797. ա)(-17/12) x (-4/7)=68/84=1/2
բ) (-8/5) x (25/64)=200/320=1/6
գ)(+6/19)x (+25/27)=150/513=3/42
Վարժ 798
ա)(-9/10)x(+5/7)=- 9x 5/10x7=-45/70= -9/14
բ)(+24/7)x(-56/81)=24x8/ 1x81= -192/81=-64/27
գ)(+14/15)x (-35/63)=14x7/ -3x63=-98/189
դ)(-42/37)x(+15/28)=-21x15/37x14=-315/518
Վարժ 801
ա)(+4/5):(+1/8)=4x8/5x1=32/5
բ)(-8/9):(-2/3)=-8x3/-9x2=-24/18=8/6
Վարժ 802
ա)(-7/8):(+5/16)=-7x16/8x5=112/40=-14/5
բ)(+4/15):(-2/25)=4x25/-15x2=-100/30=-10/3
03.03.14
Մեկ անհայտով հավասարում
X+5=8
x-անհայտ, փոփոխական
հայտնի թվեր- 5, 8
լուծել հավասարում նշանակում է գտնել, հավասարման
արմատը:
x+5-5=8-5
x=8-5=3
x+5=8
x=8-5
x=3
Ստ. 3+5=8
8=8
Օրինակ. 8+x=15-4
X=15-4-8
X=3
Օրինակ –(-x+5)-25=36-9
x-5-25=36-9
x-5-25=27
111-(33+x)=42
X=111-33-42
X=36
X=78
04.03.14թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`921
ա) X - 832=174
X=832+174=1006
X=1006-832=174
բ)x-303=27
x=303+27=330
x=330-303=27
գ)1405-x=108
x=1405-108=1297
x=1405-1297=108
դ)84+x=124
x=124-84=40
x=84+40=124
Վարժ`922
ա)x-3/4=5/8
x=3/4+5/8=6+5/8=11/8
Ստ.11/8-3/4=11-6/8=5/8
բ)x-1/2=5/6
x=1/2+5/6=3+5/6=8/6
Ստ.8/6-1/2=8-3/6=5/6
գ)3/10-x=4/5
x=3/10-4/5=3-8/10=5/10=1/2
x=3/10-5/10= 3-5/10=2/10=1/5
x=3/10+4/5=3+8/10=11/10
Ստ. 3/10-11/10=3-11/10=8/10=4/5
դ)1 2/3+x=4 7/9
x=5/3+x=43/9
x=5/3-43/9=15-43/9=28/9
Ստ.5/3+28/9=43/9
5/3+28/9=15+28/9=43/9
04.03.14թ.
Փակագծերի բացում :
-(2-5)=-2+5
926a
10.03.14թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`923
ա)X-3=0
3-3=0 Պատ`. Այո
բ) 3-X=0
3-3=0 Պատ`. Այո
գ)X-5=0
X-5+5=0+5
X=-5
-5-5=0 Պատ`.Ոչ
դ)2 • X =6
X=6:2
X=3 Պատ`.
ե) 7-X=0
X=7-0
X-7-7=0-7
X=7-0
X=7
զ) X=6-x
X+X=6
2X=6
X=6:2=3 Պատ`.Այո
Վարժ`924
ա) 2•X=5
X=5/2 Պատ`.Ոչ
բ) 4•X=0
X=4:0 Պատ`.Ոչ
գ)X=1
1=1 Պատ`. Այո
դ) 7•X=7
X=7:7
X=1 Պատ`.
ե)6•X+8=14
14X=14
X=14:14
X=1 Պատ`. Այո
զ) 8-X=7
X=8-7
X=1 Պատ`.Այո
Վարժ`925
ե) 2•(X-1/2)=4
2•X-2•1/2=4
2•X=4
X=4:2
X=2
զ) 3•(1/3-X)=2 2/3
3/1 • 1/3-3 •X=8/3
3•X=8/3
X=8
Վարժ`.926
գ) 7•(3-X)+4•(X+2)=8
7•3-7•X+4•X+4•2=8
21-7X+4X+8=8
-7X+4X=-21-8+8
3X=-21
X=-7
դ)5•(X-9)+6•(2-X)=1
5•X-5•9+6•2-6•X=1
5X-45+12-6X=1
5X-6X=45-12+1
-1X=34+1
X=34
ե)3•(4-X)=2X+1
3•4-3•X=2X+1
12-3X=2X+1
-3X-2X=12+1
-1X=-11
X=11
10.03.14թ.
Մեկ անհայտով հավասարում
1.Ինչ է մեկ փոփոխականով հավասարումը:
Այն անհավասարությունը, որի գրառման մեջ օգտագործվում է մեկ տառ, կոչվում է մեկ փոփոխականով
հավասարում:
2.Ինչ է նշանակում
լուծել հավասարումը:
Հավասարում լուծել նշանակում
է գտնել այն թիվը, որը տառի փոխարեն
տեղադրելով ստանում ենք հավասարություն:
3.Ինչ է հավասարման արմատը:
Հավասարում լուծել նշանակում
է գտնել այն թիվը, որը տառի փոխարեն
տեղադրելով ստանում ենք հավասարություն:Այդ թիվը կոչվում է արմատ:
4.Ինչպես է փոխվում
գումարելիի նշանը, երբ այն հավասարության մի մասից
տեղափոխվում է մյուս մասը:
Թիվը հավասարության մյուս կողմը տեղափոխելուց
փոխում է իր նշանը:
5.Ձևակերպել հավասարումը լուծելու
հաշվեկանոնը:
1.Փակագծերի առկայության դեպքում
պարզեցնում ենք հավասարումը` բացելով փակագծերը:
2.Հավասարման` անհայտ
պարունակող անդամնները տեղափոխում ենք նրա ձախ մասը, իսկ մնացած
անդամնները` աջ մասը:
3.Հավասարման երկու մասերում
կատարելով անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները` ստանում ենք պարզագույն հավասարում
և լուծում այն:
Խնդիր 1.
<--------------------------------0-------------------------------------à78կմ
Եղած հեռավորությունը-22կմ
Առաջին հեծանվորդ-12կմ/ժ
Երկրորդը-16կմ/ժ
Ժամանակ-x
12x+16x+22կմ=78կմ
28x+22=78
28x=56
X=56:28=2
2խնդիր
Մի զամբյուղում 2 անգամ
շատ խնձոր կա քան մյուսում:
Եթե առաջին զամբյուղից
վերցնենք 16 խնձոր և ավելացնենք
երկրորդի վրա, ապա զամբյուղներում խնձորների
թիվը կհավասարվի:
Քանի խնձոր կա զամբյուղներից յուրաքանչյուրում:
2x-16=16+x
2x-x=16+16
X=32
2•32-16=16+32
48=48
11.03.14թ.
3խնդիր.
Կա 13 հեծանիվ դրանց
մի մասը 2 անիվ
ունի, իսկ մյուս մասն էլ
3 անիվ ունի:
Քանի հատ երկանիվ
և քանի հատ եռանիվ
կա:
Եթե բոլոր անիվները
հաշվելիս անիվները 31 հատ է:
3x+2(13-x)=31
3x+26-2x=31
3x-2x=31-26
1x=5
Պատ.` 5,8:
2x+5+4x=17
2x+21=17-5
6x=12
X=2
3•(x+4)-5=2x+41
3x+12-5=2x+41
3x-2x=41-12+5
1x=34
942ա.բ , 943:
17.03.14թ.
Տնային աշխատանք
942
ա) սկզբում- x կոճակ
դրեցին-30կոճակ
դարձավ-95 կոճակ
լուծում
x+30=95
x=95-30=65
Պատ`. 65կոճակ:
բ) Կար-x լամպ
այրվեցին-27
Լուսավորում էին -323
Լուծում
x-27=323
x=323+27=350
943
ա) P-57սմ
AB-26սմ
AC-10սմ
BC-x
Լուծում
X=26+10-57
X=21սմ
բ)I-48լ ջուր
II-30լ
I-x+30=60
Լուծում
48-x=30
X=48-30=18
Պատ`.18լ
½ x-10=0
1/2x-10=0
1/2x=0+10
1/2•x=10
X=10:1/2=10•2/1=20
X=20
-3x-7=0
-3x=0+7
-3x=7
X=7:(-3)
X=-7/3
Ստ.
-3•(-7/3)-7=0
7-7=0
-4x=0
-4x=0:(-4)
X=0
3x=1/7
X=1/7:3/1=1/7•1/3=1/21
x=1/21
3•1/21=1/7
Տանը
-3x=0
X=3:0
X=3
2x=1/4
X=1/4:2/1
X=1/2
5x=1/7
X=1/7:5/1=1/7•1/5
X=1/35
2x+x=9
3x=9
X=9:3
X=3
6x-4=2
2x=2
X=2:2
X=1
7x+3x=10
10x=10
X=10:10
X=1
1/9x=9
9x=9
X=9/1:1/9=1/1•1/1
X=0
1/3x=21
21=21/1:1/3=7/1•1/1
X=7/1
24.03.14թ.
Կրկնողություն
6 5/8-4=53/8-4/1=53-22/8=21/8=2 5/8
3/2+5/1=3+10\2=13/2=6 ½
4.34. (x-5)•3-49=x
3x-15-49=x
3x-x=15+49
2x=64
X=32
(x+2)•4+101=201
X=8+101=201
4x=201-8-101
4x=92
X=23
1պարտ-4x-24թ. /+24թ./հավասարվեց
2պարտ-x
4x-24
4x-24
X+24
4x-24=x+24
4x-x=24+24
3x=48
X=16
Պատ.`2)16թ.
4•16=64թ.
32.03.14թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`951
ա)x+1/3=5/6
x=5/6-1/3=5-2/6=3/2=1/2
բ)-x-4 2/5=-5 3/5
-x=-5 3/5+4 2/5
-x=-1 3/5+ 2/5=
3+2/5 = 5/5=1
գ)2 ¾-x=5/16
x=-2 ¾+5/16
-x= ¾+5/16=1
12+5/16= 17/16
-x=-1 17/16
դ)2=- 1 ½-x
x=-1 ½-2
x= 2 1/2+2/1= 2+
4/2= 6/2= 2 3/1
ե)-5/7=-x+2/7
x=5/7+2/7
-x=5/7+2/7=5+2/7=7/7=1
զ)-3/8=1 1/8-x
x=1 1/8+3/8
x=1 1/8+3/8=8+3/8=11/8
Վարժ`952
ա)2<x<5
x=4,3
բ)3<x ≤7
x=4,5,6,7
գ)x>0
x=1,2,3,4,5,6……
դ)0< x ≤3 ½
x=2 ½, 2 2/2
Վարժ`954
ա)-15
-75-(-60)=-15
բ)-30+15=-15
խնդիր `959
16 որմնադիր-81օրում
Քանի որմնադիր կշարի նույնանման շենքի պատերը 36 օրում:
Լուծում
X=16•36/81=576/81=
08.04.14թ.
Տասնորդական կոտորակներ
2/10, 14/100, 4/1000,
Այն կոտորակը որի հայտարարը
կարգային միավոր է կոչվում
է տասնորդական կոտորակ:
30/100,4/1000,15/10,-3/10
Տասնորդական կոտորակի դիրքային
գրառումը
1.համարիչում թվանշանների քանակը
մեծ կամ հավասար
է հայտարարի թվանշանների
քանակից:
24/10=2 4/10=2,4
351/10=35
1/10=35,1
813/100=8
13/100=8,13
Տասնորդական կոտորակների
դիրքային գրառման մեջ , առաջ գրված թիվը կոչվում
է ամբողջ մաս իսկ , հետո գրված թիվը` կոտորակյին մաս:
924/100=9 24/100=9,24
Տանը
Վարժ
-1029, 1030,
1031a,z, 1032,
14.04.14թ.
Տնային աշխատանք
Վարժ`1029
ա)501760:448+8981•65
1)
501760:448=1120
2)8981•65=583765
3)583765+1120=584885
բ)6808:1702+1972•10
1)6808:1702=4
2)1972•10=19720
3)19720+4=19724
գ)195584:1024+827541:643
1)195584:1024=191
2)827541:643=1287
3)1287+191=1478
դ)4096:
1024+153468:261
1)4096:1024=4
2)153468:261=588
3)588+4=592
Վարժ`1030
10,11,25,39,45,100,200,205,397
5-10,25,45,100,200,205
Վարժ`1031
ա)(3/7-1 1/6)•8+4/7
3/7 – 7/6=18-49/42=-31/42
-31/42•8/1=-124/21
-124/21+4/7=-124+12/21=-112/21=-5 7/21=-5/1/3
զ)12 ½+(3
5/6-7 4/5):2/3
3 5/6 - 7 4/5=23/6 – 39/5=115-234/30=-119/30
-119/30:2/3=119/30•3/2=-119/20
12
½+(-119/20)=25/2-119/20=250-119/20=131/20=6 11/20
Վարժ`1032
ա)2x=-1
x=-1/2
բ)3x=4
x=4/3
գ)4x=-20
x=-20/4
դ)8x=7
x=7/8
Комментариев нет:
Отправить комментарий